指向深度学习的教学实践与思考
深度学习，是在教师引导下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习活动［1］.深度学习强调教师主导下的学生主动参与、积极建构、强调学生的教育性发展.在这一过程中，学生通过掌握学科核心知识，把握学科本质和思想方法，理解学习过程，形成积极的内在学习动机并获得发展.
数学教学是思维的教学，罗增儒教授指出：数学家创造了数学知识，数学教师创造了对数学知识的理解.只有教师具有深度教研的意识、能力和素养，在日常教学中一贯坚持指向深度学习的教学设计与实践，才能更好地培养和提升学生的数学思维能力和思维品质，落实数学核心素养.
1问题提出
在高一指数函数与对数函数的教学中，经过系统研究函数性质后得到了它们的图像.学生在完成课后练习时，常会遇到了函数y=2x－1/2x+1、y=log22－x/2+x、y=lg（x+x2+1）及相关的问题.借助换元法、整体代换与复合函数的方法对问题给出解答后，学生提出了一个共同的疑问：以往对函数的学习，都是通过研究函数的性质并作出图像.能否系统研究上述函数的性质呢？基于这些函数的性质能作出它们的图像吗？学生提出的新设想，是尝试应用函数性质的研究方法研究陌生函数的需求和愿望，这是开展深度学习、提升数学学习能力的最佳契机，本文笔者将自己的教学设计实施与大家分享交流.
2指数相关函数的对称性探究
题目1研究函数f（x）=2x－1/2x+1的性质并作图.
学生的解答过程如下：
研究可知，f（x）是定义域为R的增函数且为奇函数，函数的零点为x=0.在研究單调性时，观察解析式代数结构，将其整理为f（x）=1－2/2x+1的形式，可识别出f（x）为增函数；通过判断f（－x）与f（x）的关系得到了奇函数这一结论.结合上述性质，学生基于经验作出了f（x）的一个错误的图像（图1）.
2.1学生的困惑与疑问
虽然得到了f（x）的图像，但学生并不能理解，为何指数函数不具有对称性，而f（x）却具有对称性；指数函数存在渐近线，f（x）是否存在渐近线.
2.2指向深度学习的教学设计
为了引导学生深入探究f（x）的函数性质及其内在联系，提出如下思考问题.
引导思考1你知道哪些与指数函数有关的奇函数、偶函数？
学生回顾并给出形如y=2x、y=2x+2－x是偶函数，y=2x－2－x、y=2－x－2x是奇函数.引导学生梳理已有知识储备和学习经验，为进一步发现、探究指数相关函数的对称性做好铺垫和准备.
引导思考2上面的奇函数和偶函数与f（x）有什么关系呢？怎么探究它们之间的关系呢？
学生分析后发现，由熟悉的奇函数和偶函数可以构建出新的奇函数、偶函数.如y=2x+2－x/2x－2－x、y=2x－2－x/2x+2－x均为奇函数，在形式上与f（x）很类似；学生进一步探究发现，如果将函数y=2x－2－x/2x+2－x的分子、分母同时乘以2x，变形可得y=4x－1/4x+1，这与f（x）的解析式的结构是一样的.类比可知，对f（x）进行如下变形，f（x）=2x－1/2x+1=2x/2－2－x/2/2x/2+2－x/2，这样f（x）就化成了一个奇函数与一个偶函数的商的形式.
引导思考3f（x）是否存在渐近线？
引导学生回顾指数函数的渐近线，不仅在函数图像上有所呈现，也可以借助解析式从数量关系上给出描述，启发学生借助f（x）的解析式研究渐近线的数量关系.
学生思考后指出，由f（x）=1－2/2x+1可知f（x）1，图1是错误的.因为当x→+∞时，f（x）1且f（x）→1，即y=1是函数的一条渐近线，再由奇函数可知
y=－1也是函数的渐近线，从而得到函数f（x）的图像应该是图2.教师指出，基于函数性质的作图过程，是对函数性质的深刻理解与准确应用，是对函数性质的最佳呈现.
2.3教学反馈与评价
为了巩固、强化学生的认识和理解，教师提出下列问题.
探究思考研究函数f（x）=2x/2x+1的性质并作图.
学生整理得到f（x）=1－1/2x+1，定义域为R；可判断出f（x）在R上单调递增；当x→+∞时，f（x）1且f（x）→1；当x→－∞时，f（x）0且f（x）→0，即y=1和y=0是函数的两条渐近线，作出函数图像（图3），观察图像，学生给出猜想：f（x）的图像关于点0，f（0）成中心对称.学生观察图像大胆猜想，是对函数性质的深度思考.教师鼓励学生进一步探究：怎么检验这一猜想呢？
学生尝试1判断f（x）的图像是否关于点0，f（0）成中心对称，等价于验证函数是否满足f（－x）+f（x）=1恒成立，整理可得上述结论是成立的.
学生尝试2运用联系的观点，借助奇函数与中心对称的关系，判断f（x）的图像是否关于点0，f（0）成中心对称，只需验证y=f（x）－1/2是否为奇函数即可.
3对数相