基于数学本质的几何概念教学有效路径
【摘要】数学本质是指从数学学科的视角研究数学知识究竟是什么，包括数学知识的来源、发展以及运用。基于数学本质的教学设计，是正确实施数学课堂教学的前提。文章从整体视角分析，厘清本质；创设问题情境，直逼本质；经历数学化过程，形成本质；感悟数学思想，强化本质几个方面阐述基于数学本质进行几何概念教学设计。
【关键词】数学本质几何概念教学路径教学设计
数学本质是指从数学学科的视角研究数学知识，包括数学知识的来源、发展以及运用。基于数学本质的教学设计，是有效实施数学课堂教学的前提。几何概念能反映几何图形的本质属性，经历了从感性认识到理性认识的抽象过程。那么，如何凸显数学本质，进行几何概念教学设计呢？可以从以下几方面展开。
一、整体视角分析，厘清本质
整体的视角意味着要从多角度分析数学知识，而不是单一地、孤立地看待数学知识。数学知识的本质并不等同于数学教材中的描述与说明。数学教材往往要考虑学生的接受能力，有时会舍去一些严谨性而规范性的表达。同时，数学教材由于篇幅的限制不可能充分展开，只能摘其要点，不会对“是什么”“为什么”“怎么用”等进行完整的叙述。
例如，圆的本质是什么，可以从数学教材中圆的概念部分去解读。在数学教材中，对于“圆”的定义主要采用的是描述性的定义，通过圆的要素半径和直径的特征来帮助学生了解圆这种图形。中学阶段圆基本上给出的是几何定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，其中定点和定长分别为该圆的圆心和半径。当然，圆还有其他两种定义说法：一种是轨迹说，另一种是集合说。从几种不同的定义方式，我们能发现小学阶段的圆的定义采用的是静态定义方式，比较直观，利于形成圆的表象；而初中阶段针对圆的定义采用的是动态定义的方式，在运动过程中体现出圆的本质特征，即到定点距离一定的所有点运动形成的曲线图形。
圆的本质是什么，还可以通过数学史去梳理。中国历史上最早提出圆的概念的是墨子。早在2000年前，《墨经》中就记载了“圆，一中同长也”。
从整体的视角分析意味着要弄清知识的来源、发展与应用，教师可以从数学概念定义本身出发，厘清不同定义的区别和联系，把握数学知识的基本内涵；也可以从数学知识的发展脉络出发，梳理不同历史阶段人们对数学知识的理解，弄清知识的来龙去脉，从而深刻把握知识的本质。
二、创设问题情境，直逼本质
把握了知识的本质，接下来要思考怎样把知识的学术形态转为可为学生可接受的教育形态。知识的教育形态是指将知识融入适当的问题情境中，让学生基于情境进行学习。这种问题情境往往基于学生的数学现实，蕴含着数学知识的原型，同时又带有一定的问题意识，可以激发学生强烈的探究欲，引发认知冲突。
如在苏教版数学五年级“圆的认识”一课的教学设计中，为了凸显圆的动态定义这一核心知识，笔者创设了一个具有探究性的问题情境：同学们将要进行一个游戏活动——套圈。至少3个同学做套圈游戏，怎样站立才公平？套圈的位置可以用一个圆点表示，玩家的人数可以是3人、4人，甚至更多的人。明白了吗？出示学习单（如图1），学生自主思考。
在“套圈游戏”的情境中，蕴含着一个问题：怎样站才公平。这一情境的创设从套圈游戏到怎样站才公平，有意识地引导学生学会从数学角度发现和提出问题。“怎样站才公平”这一问题助推学生主动参与数学活动，积极探索新知。学生在自主探究过程中形成的活动经验也是进一步学习的基础。由此，学习不断深入，直至问题解决。在解决问题的过程中，学生能感悟到圆的本质，即到定点距离定长的点的集合，从而进一步理解“圆，一中同长也”。合理的问题情境不仅可以凸显数学知识的本质，还要设法让学生“卷入”探究过程中。
三、经历数学化过程，形成本质
弗赖登塔尔认为，学生学习数学是一种“数学化”的过程。数学化就是数学地组织现实世界的过程。这里的“数学化”过程不能仅仅依靠教师的灌输，更重要的是学生自我的建构，让学生尝试用自己的方式表达对数学的理解，建立数学知识之间的内在联系。在此基础上，不同思维层次的学生通过互动交流，不断纠错，不断完善，才能实现感性经验向理性知识的跃升，完成感性经验向数学知识的转化。
如在教学“圆的认识”一课时，教师创设了“套圈游戏”的问题情境后，组织学生交流汇报。
【教学片段】
学生交流后，汇总出了5种不同的方法。
方法1：排成一条直线的。
方法2：排成长方形，人放在顶点。
方法3：摆成正方形，人的位置放在顶点和每条边的中点。
方法4：摆成正三角形、正多边形的，人放在顶点。
方法5：放在一段弧上的。
师：同学们真爱动脑筋，想出了这么多方案。这些方案有什么共同点？看来只要点到中心点的距离相等就可以。
师：如果两个人之间的距离相等，就会形成正三角形；如果四个人呢？人越来越多，会形成什么样的图形？
师：结合刚才的研究，闭上眼睛想象，你认为圆是一个什