云南省昆明市第八中学2024?2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（????）
A．12种 B．7种 C．4种 D．3种
2．设是可导函数，且，则（????）
A． B． C． D．
3．国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（????）
A． B． C． D．
4．以椭圆的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是（????）．
A． B．或
C． D．或
5．随机变量的分布列如表格所示，若构成等差数列，则（????）
0
1
A． B． C． D．
6．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（????）
A． B． C． D．
7．一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成（????）对异面直线
A．174 B．180 C．210 D．368
8．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若，则x的值为（???）
A．8 B．5 C．12 D．7
10．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（????）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含项的系数为45
11．已知函数，，下列说法正确的是（????）
A．当时，函数有两个极值点
B．当时，函数在上有最小值
C．当时，函数有三个零点
D．当时，函数在上单调递增
三、填空题
12．3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为（用数字做答）.
13．某游泳队共有20名队员，其中一级队员有10名，二级队员有5名，三级队员有5名，若一?二?三级队员通过选拔进入比赛的概率分别是，则任选一名队员能通过选拔进入比赛的概率为．
14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.书中介绍到：平面内两个定点及动点，若且，则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.现已知点为圆上一动点，为圆上一动点，点，点，则的最小值为.
四、解答题
15．设数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求.
16．已知函数在处取得极大值．
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值．
17．已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）O为坐标原点，过点且斜率不为0的直线l交双曲线C于P，Q两点（点P在第一象限，点Q在第二象限），直线OQ交双曲线C于点，求．
18．某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
元件数（件）
12
18
36
30
4
(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立.
（i）若，证明：；
（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）
19．定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．
(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】依题意，不同的选法为.
故选B
2．【答案】C
【分析】根据导数的定义即可得到答案.
【详解】.
故选C.
3．【答案】B
【详解】由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为．
故选B
4．【答案】D
【详解】因为椭圆的对称中心为原点，焦点为
所以抛物线的方程为或
故选D
5．【答案】C
【详解】因为构成等差数列，所以，
又，所以，，所以.
故选C
6．【答案】A
【详解】由求导可得：，
因为在上单调递增，所以在时，，
即，而