山东省淄博市沂源县第二中学2024?2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．若，则（????）
A．0 B．1 C． D．
2．等差数列中，为其前项的和，若，，则（???）
A．50 B．100 C．400 D．500
3．已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在区间上的极大值点的个数为（????）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（????）
A． B． C． D．
5．已知数列中，，，则（????）
A． B． C． D．
6．若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
7．数学与文化有许多奇妙的联系，如诗词中有回文诗回文联“上海自来水来自海上”，既可以顺读又可以逆读数学中有回文数，如“343，12521”，两位数的回文数11，22，33等，则三位数的偶数回文数的个数为（????）
A．40 B．45 C．50 D．54
8．已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（????）
A． B．
C． D．、均为的最大值
10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（????）
A． B．
C． D．
11．对于函数，下列说法正确的是（????）
A．单调递减 B．在处取得极大值
C．有两个不同零点 D．在处的切线方程为
三、填空题
12．若直线与曲线相切，则．
13．已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高一（3）班有38人，现从这三个班中任选1人去参加活动，则不同的选法共有种.
14．数列的首项，且（为正整数），令，则.
四、解答题
15．已知函数.
（1）求单调区间；
（2）求在区间上的最值.
16．已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．
17．设数列的前项和为，，.
（1）求证：数列是等差数列.
（2）设是数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数的值.
18．已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
19．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
参考答案
1．【答案】B
【详解】解：已知，
则，
所以.
故选B.
2．【答案】D
【详解】，
故选D
3．【答案】B
【详解】极大值点在导函数的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图象可知极大值点共有3个.
故选:B.
4．【答案】C
【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为，
则，解得
所以第二天织布的尺数为.
故选C
5．【答案】B
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以数列的周期为3，
因为，
所以.
故选B
6．【答案】A
【详解】
令，即，解得：或，
当时，，在上单调递减；
当时，，在、上单调递增，
故当时，取极小值：，
当时，取极大值：，
有三个不同零点，
∴，解得：，
∴实数的取值范围是：.
故选A.
7．【答案】A
【详解】根据题意，三位数的偶数回文数的个位和百位数字相同，必须为2、4、6、8中的1个，有4种情况，对于十位数字，没有限制，有10种情况，
则三位数的偶数回文数有个.
故选A.
8．【答案】D
【详解】由题知函数的定义域为，，
所以，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
因为函数在区间上不单调，
所以，，解得，
所以，实数的取值范围是.
故选D．
9．【答案】BD
【详解】因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为，故C错误；
因为由题意得，，所以，，故D正确；
故选BD
10．【答案】BC
【详解】对于A，，，
当时，，，，故在上不是凸函数；
对于B，，对任意的，，故在上是凸函数；
对于C，，对任意的，，故在上是凸函数；
对于D，，对任意的，，故在上不是凸函数.
故选BC
11．【答案】BD
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当时，，当时，，
因此函数在上递增，在递减，
对于A，由函数在上递增，得A错误；
对于B，在处取得极大值，B正确；
对于C，函数在上递增，且，
而当时，恒有，函数只有1个零点，C错误；
对于D，，因此在处的切线方程为，D正确.
故选BD
12．【答案】
【详解】由求导得，设切