山东省青岛市青岛第九中学2023?2024学年高二下学期期末数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，．若，则（????）
A． B． C．3 D．6
2．“”是“过点有两条直线与圆相切”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（????）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
4．的展开式中常数项为（????）
A．544 B．559 C．495 D．79
5．已知，，，则（????）
A． B． C． D．
6．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（????）
A． B．
C． D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为A，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（????）
A． B． C． D．
8．有一组样本数据0，1，2，3，4，添加一个数X形成一组新的数据，且，则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若均为正数，且，则下列结论正确的是（????）
A．的最大值为
B．的最小值为9
C．的最小值为
D．的最小值为
10．已知函数满足，则（????）
A． B． C．是偶函数 D．是奇函数
11．给出下列命题，其中正确的命题有（????）
A．若.则
B．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种
C．从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有240种
D．西部某县委将7位大学生志愿者(4男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知集合，，则集合的元素个数为．
13．已知随机变量，且，则.
14．若函数的四个零点成等差数列，则．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为边的中点，求的长.
16．已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值．
17．在五面体中，平面，平面．
(1)求证：；
(2)若，，点D到平面的距离为，求二面角的大小．
18．已知抛物线：经过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与的交点为A，，直线与倾斜角互补.
（i）求的值；
（ii）若，求面积的最大值.
19．龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况．
日期t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量千张
1.9
1.98
2.2
2.36
2.43
2.59
2.68
2.76
2.7
0.4
经计算可得：.
(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程结果中的数值用分数表示；
(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求；
(3)记（2）中所得概率的值构成数列.
①求的最值；
②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于.根据数列收敛的定义证明数列收敛．
参考公式：.
参考答案
1．【答案】C
【分析】利用向量平行的判定方法得到，再解方程即可.
【详解】由，知，解得.
故选C.
2．【答案】B
【分析】由已知点在圆外，求出r的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得答案.
【详解】由题意，点在圆外，则有，
因为，所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的必要不充分条件.
故选B.
3．【答案】A
【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案.
【详解】，
则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，
故选A.
【方法总结】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是对x的哪种变换，切记每一种变换总是对x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少.
4．【答案】B
【分析】若要展开式中出现常数项，需考虑六个括号中每个括号提供哪些项，分三种情况解决即可.
【详解】展开式中的常数项分三种情况：
第一种，六个括号都提供，此时得到；
第二种，六个括号中一个括号提供，两个括号提供，三个括号