一道中考题的探究
蒋红珠黄文丽刘成龙
试题再现（2020年深圳中考第16题（下文简称16题））如图1，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，tan∠ACB=12，BOOD=43，则SΔABDSΔCBD=．
16题以直角三角形构成的四边形为载体，主要考查学生对常见相似三角形相关模型的掌握程度，考查学生对面积比问题的转化与解决能力，具有言语直观、构思精巧、图形简洁、内涵丰富、背景公平、解法多样等特点，是考查学生逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算等素养的有力素材．同时，16题是数学探究的良好素材．下文将从试题的背景、解法和变式三个视角进行探究．
1背景探究
研究试题背景可以准确把握试题的本质、理解试题的设问、扩宽试题的解法、加强试题的扩展．中考数学压轴题追求试题背景的新颖性与独特性，常常是在“教材知识”的基础上向四大背景上集中：高中数学背景、现实生活背景、历史名题背景、经典试题背景（包括往年的竞赛题或中考题）．16题蕴涵教材背景和竞赛背景．
背景1教材背景
源于北师大版九年级上册第三章《图形的相似》复习题中的第22题（第107页）：
第22题如图2，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=4，BD=14，点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与ΔABP相似时，求PB的长．
评注：第22题中当以P，C，D为顶点的三角形与ΔABP相似时，就可提炼出“一线三等角模型”中的“一线三直角模型”，是相似三角形中的重要模型．在16题的图1中，过点D作BC的平行线与BA的延长线交于点E，
如图3所示，通过16题的其他条件可知∠E=∠ABC=∠DAC=90°，即含有“一线三直角模型”．命题者间接选择“一线三直角模型”为素材，为ΔABD和ΔCBD求面积找底和高奠定了基础，考查学生转化与化归思想及数形结合思想．
背景2竞赛背景
张景中院士所提出的共边定理有四种情形，如图4所示．若直线AB和PQ相较于点M，则有SΔPABSΔQAB=PMQM．人们为了方便记忆，称图4（1）为“风筝模型”、图4（2）和（3）为“燕尾模型”、图4（4）为“双峰模型”．16题的图1与共边定理中的风筝模型相同．共边定理可以解决小学高年级及中学低年级阶段的数学竞赛试题，文中展示了几道竞赛试题，此处略．
评注：了解共边定理后，易想到，若要求16题中SΔABDSΔCBD的值，即求OAOC的值．共边定理是“等底等高的三角形面积相等”这一性质的推论．命题者选择“风筝模型”为背景，暗示考生可将面积比转化为线段比来解决问题．
2解法探究
思路1由共边定理可知，要求SΔABDSΔCBD的值，即求OAOC的值．
解法1：如图5所示，过点B作AC的垂线交AC于点E，则∠BEO=90°，因为∠DAO=90°，所以∠BEO=∠DAO，又因为∠EOB=∠AOD，所以ΔEOB～ΔAOD，再由BOOD=43，设AO=3k，OE=4k，则AE=7k．因为∠ABC=90°，易证ΔABC～ΔAEB～ΔBEC，又因为tan∠ACB=12，则BE=14k，EC=28k，OC=32k，从而OAOC=3k32k=332，即SΔABDSΔCBD=332．
评注：解法1主要使用了相似三角形的性质来解答问题，解法1后面求OC时，也可使用射影定理来求．
思路2要想求OAOC的值，也可找与OAOC的值等价的线段比．
解法2：如图6，过点D作BC的平行线与BA的延长线交于点E，过点O作AB的垂线交AB于点F，由∠ABC=∠DAC=90°，则易证ΔAED～ΔOFA～ΔCBA且ΔAFO～ΔDEB．因为tan∠ACB=12，BOOD=43，则不妨设OF=4k，则AF=2k，ED=7k，AE=14k，则FB=43（AE+AF）=64k3，由ΔOFA～ΔCBA可知，要求OAOC的值，等价于求AFFB的值即可，化简得SΔABDSΔCBD=332．
评注：从解法2的过程中可知，要求OAOC的值，可转化为求FOBC的值，方法与解法2类似，略．
思路3解法1和解法2都主要通过相似三角形的性质来解答的，而构造相似三角形的一个重要方法就是作平行线，构造“8”字模型．
解法3：如图7，过点D作BC的平行线与CA的延长线交于点E，由∠ABC=∠DAC=90°，易证ΔDAE～ΔABC且ΔODE～ΔOBC，则∠ACB=∠E，又BOOD=43，所以OCOE=AC－OAAE+OA=43①．因为tan∠ACB=12，设ED=3k，CB=4k，AE=EDcos∠ACB=655k，AC=CBcos∠ACB=25k，代入①，得OA=6535k，由OAOC=OAAC－OA，解得OAOC=332，即SΔABDSΔCBD=332．
评注：解法3利用作平行线构造相似三角形，在求解OA与OC的比值过程中主要使用方程的思想