中考数学
分类讨论思想在五种题型中的应用
通用的解题思路：
题型一、等腰三角形的存在问题分类讨论
1.假设结论成立；
2.找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：
①当定长为腰时，找已知条件上满足直线的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，
若所画弧与坐标轴或抛物有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与坐
标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；
②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线
有交点时，那交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，满足条件的点
不存在；以上方法即可找出所有符合条件的点.
3.计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添
加辅线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解
题型二、直角三角形的存在问题分类讨论
1.设出所求点的坐标，用变量表示出所求三角形三边的长的平方的代数式，如本题，设点F（1，f），
△BCF三边长为：BF＝4＋f，CFf+6f+10，BC18；2222
2.找点：根据直角顶点的不确定性，分情况讨论：
①当定长（已知的两个点连线所成的线段）为直角三角形的直边时（如本题（4）中的边BC），分
别过定长的某一端点（B和C）做其垂线，与所求点满足的直线或抛物线（本题是抛物线对称轴）有
交点时，此交点即为符合条件的点；
②当定长为直角角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所有点满足条件的直线或抛物线有交
点时，此交点即为符合条件的点.
3.计算：把图形中的点的坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形各边（表示线段
时，注意代数式的符号），再利用相似三角形得比例线段关系或利用勾股定理进行计算.
题型三、不等式（组）中的分类讨论思想
分类讨论思想在不等式（组）中主要体现在含有字母系数的一元一次不等式（组）的解法问题，在
求其解集时要对字母进行分类讨论。
对含字母系数的不等式或不等式组，在求解时一定要注意字母系数的取值范围，要进行分类讨论。
题型四、方程（组）和函数中的分类讨论思想
中考数学
在函数问题中，分类有两种情况：一种是对概念进行分类，一种是分情况讨论问题，对概念进行分
类，是明确概念的一种逻辑方法，有助于对概念的理解与掌握；分情况讨论问题，可以帮助我们全
面考察一个对象，得出可能的结论，也可以使问题更容易人手，分类思想方法对于中学生来是比较
难掌握的一种数学思想方法，在对概念进行分类时，往往把握不住标准，不能坚持用同一个标准进
行分类，出现“重或“漏的现象，从而容易导致错误的发生
题型五、圆中的分类讨论思想
由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且具有旋转不变性，因此有不少题目会出现多解问
题。这类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况，它有利于培养同学们严谨周密的逻辑
思维能力。如果解题时考虑不严密，理解不透切，形成思维定势，就会漏解，从而造成错误。在圆
中解这类问题时，需要利用分类讨论思想，在解题时可以多考虑将圆进行折叠或旋转。
题型一：等腰三角形中的分类讨论思想
9m
1．（2023?广安）如图，一次函数ykx?(k为常数，k?0)的图象与反比例函数y(m为常数，m?0)
4x
的图象在第一象限交于点A(1,n)，与轴交于点B(?3,0)．
x
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
Px?ABPABP
【分析】（1）把点、的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于、的方程组，通过解方程组求得
ABkn
它们的值；然后将点的坐标代入反比例函数解析式，求得的值即可；
A