明确路径，有序探究
众所周知，数学探究是一种寻求新知的过程，同时也一种教学模式，是一种在教师指导下学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程.数学探究教学在激发学习动机、丰富学生学习方式、增强学习效果、培养创新人才上具有其他教学方式不可替代的功能.但当前的数学探究教学也存在形式化及无序性等弊端.例如，探究的问题要么过于简单，使得探究过程流于形式，要么探究的问题过难，学生无处探究；在探究过程中，要么教师过度干预，探究成为了教师的“表演”，要么教师指导缺位，学生盲目探究.若要从根本上解决探究教学中存在的这些弊端，首先必须要让学生明确探究的路径，从而使得数学探究成为一种有序的学习活动.最近，笔者观摩了一堂市级数学教学公开课，教学的课题是“线面垂直的性质定理”.本文结合这堂课的教学过程，谈谈对数学探究教学的一点认知.
1探究教学过程简介
首先，教师让学生回顾上节课学习的内容，复习线面垂直的判断定理，然后问学生，类比前面的学习顺序，接下去要学习什么？学生自然想到应该学习“性质定理”，接着教师又问，是怎么样的性质定理？对于这个问题，学生众说纷纭，有的认为应该研究线线垂直，有的则认为面面垂直.看到回答内容有些混乱，教师就直接给出了性质定理“同垂直于同一平面的两条直线平行”.
接下去就是定理的证明环节，首先教师让学生把用文字语言描述的定理转化为符号语言“已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则a//b”，然后就让学生自主探究证明的过程.利用线面垂直的判断定理，就很容易证明这个定理.最后，就进入了性质定理的应用环节，这也是本节课的重点强调，一节课中的三分之二时间都花在这个环节上.
笔者认为，虽然本节课进行了所谓的“探究”教学，但实际上探究的过程只留于表层，或者说探究的层次非常的浅.首先，在判断定理的猜想环节，学生处于一种“盲猜”状态，因为大多学生根本不知道究竟什么是性质，什么是性质定理，最后教师只能自己给出定理的内容；其次，定理证明环节，并不是学生独立的探究发现过程，更多的是在教师引导下的一种常规证明；而且，本节课也没有对性质定理再进一步深入的探究，而是把大量的时间花在学生习题训练上.
2探究教学路径要义
数学探究目的就是引导学生以自主探索、合作交流的学习方式，使学生经历数学知识产生、形成、展开和应用的过程，在探究中感受数学、体验数学和理解数学，发展解决问题的策略.倘若没有设计好探究路径的指示牌，就会造成学生探究方向不明，探究效率低下，从而探究活动难以达到预期的效果.
对于数学探究，首先应该明确开展数学探究教学本身的总路径，即提出问题-猜测结论-制定方案-验证（证明）结论-应用结论.这是区分数学探究教学与常规教学的标志，是确保数学探究课具备“探究”意义的关键.在大路径明确的前提下，还要进一步明确针对不同数学对象如何开展探究的基本路径.比如，数学概念构建的路径、推理证明的路径、数学解题的路径等.数学概念的建构过程是按照“背景—概念—性质—应用”；解题探究的过程是按照“尝试—碰撞-优化-应用”等过程.再进一步细化，还需要明确研究某一个知识模块的路径，比如，研究立体几何的“直观感知-操作确认-思辨论证-度量计算”的路径，研究向量运算的“运算背景-运算规则-运算性质-运算定律”的路径，研究解析几何的“几何问题代数化，代数式子坐标化”的路径等.继续细化，还需明确探究某个知识点的路径，比如，利用“图像直观”来研究函数性质的路径、利用“数形结合”来研究函数零点的路径、利用“单位圆的对称性”来研究三角函数诱导公式的路径.只有对研究路径的不断细化，数学探究的路径才会逐步清晰，从而被纳入学生的“已有经验”中，真正实现有序探究的目的.
3探究教学改进建议
对于“线面垂直性质定理”探究教学，其关键是必须明确三个问题.首先，何为性质？所谓的性质就是线面垂直的一个必要条件，即已知“直线与平面垂直”能推出什么样的结论，但“性质”有很多，到底哪个性质才被称为“定理”，要明确探究的第二个问题，也即“何为性质定理”.一般地，立体几何中，性质定理的产生一般都基于两个方面的需求.一是，解决实际问题的需求，比如，在证明线面平行时，需要在平面内找到一个直线与平面外的直线平行，但有时平面内的这条直线不好找，怎么办？这可以从必要性的角度去分析，去找线索，即如果直线已经与平面平行了，它会具备怎样的性质，而这个性质刚好能够帮助找到所需要的“平面内”的直线.另一个需求就是数学知识自我完善的需求，例如，线面平行的判断定理已经解决了从“线线平行”到“线面平行”推理，那么能不能倒推呢？如果能够倒推，就形成了逻辑推理的“闭环”.基于这两个方面的思考，于是线面平行的性质定理就是“已知直线平行平面，若过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直線与交线平行”，即从“线面平行”推出了“线线平行”.面面平