开学自我检测03（难）
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，集合，，则（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数定义域求法可求得集合；根据指数函数值域求法可求得集合；根据交集定义可得结果.
【详解】由得，则；
当时，，所以；所以.
故选：.
2．已知复数，，，，并且，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数相等的性质与三角函数的平方关系得到关于的关系式，再根据的范围，结合二次函数图像与性质即可得解.
【详解】因为，，，
所以，消去，得，
则，
因为，
所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，
所以.
故选：D.
3．已知函数及其导数满足，则的图象在点处的切线斜率为（????）
A．4 B． C．12 D．
【答案】D
【分析】由导数的四则运算求，将代入即可得对应点斜率.
【详解】由题设，则，可得，
故的图象在点处的切线斜率为.
故选：D
4．若，，且，，则（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有，根据三角函数值确定的值.
【详解】，符号相同，
又，，，
由可得，
又，，，
所以，，
，
由，，得，，
故选：A．
5．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该木楔子的体积为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，取的中点O，连接，求出，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可.
【详解】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，
则由题意等腰梯形全等于等腰梯形，
则.
取的中点O，连接，因为，所以，
则，
∴.
因为，，所以，因为四边形为正方形，
所以，又因为，平面，所以平面，
所以平面，同理可证平面，
∴多面体的体积
，
故选：D.
6．已知直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，在轴的同侧，则（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由已知联立方程组，利用设而不求法结合抛物线定义表示，并求其值.
【详解】由已知抛物线的焦点的坐标为，
直线的方程为，
联立，消得，
设，则，
所以，
圆的圆心坐标为，半径为1，
由已知可得，
所以
??
故选：A.
7．记的内角，，的对边分别为，，，且，，则的最大值为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用数量积的定义与正弦定理可得，再利用两角和与差的正弦公式以及三角函数的有界性求解即可.
【详解】的内角，，的对边分别为，，，且，，
，
由正弦定理可得，
所以，
由
可得
，
当且仅当，即时等号成立，
所以.
故选：D.
8．已知，，，则下列说法正确的是（????）
A．当时，函数的图象和函数的图象有两个公共点
B．当时，函数的图象和函数的图象只有一个公共点
C．当或时，函数的图象和函数的图象没有公共点
D．当时，函数的图象和函数的图象只有一个公共点
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造函数，把两个函数图象公共点个数转化为函数零点个数求解.
【详解】令，因此函数零点个数即为函数和的图象公共点个数，
求导得，当时，由，得，由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，
由求导得：，当时，，函数递减，，
因此当时，，而当，时，函数递减，取值集合是，
则当，时，函数取值集合为，
当，时，，二次函数图象开口向下，
当时，（表示数中最小的），
函数在上的取值集合为，
于是当，时，函数取值集合为，
从而当时，函数的值域为，
由，得，函数有两个零点，A正确；
而，即，显然当或时，函数有两个零点，CD错误；
当时，，函数无零点，B错误.
故选：A
【点睛】思路点睛：涉及两个函数图象交点问题，构造这两个函数的差函数，转化为求函数零点问题即可.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔.社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是年我国社会物流总费用与GDP的比率统计，则（????）
??
A．这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2021年增长的最多
B．这6年我国社会物流总费用的分位数为14.9万亿元
C．这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为