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文件名称:专题26容斥原理(原卷).docx
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更新时间:2025-06-08
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文档摘要

20222023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义

专题26容斥原理

知识精讲

知识精讲

专题简析:

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理:对n个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a分类与性质b分类(如图),那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。

典例分析

典例分析

【典例分析01】一个班有48人,班主任在班会上问:“谁做完语文作业?请举手!”有37人举手。又问:“谁做完数学作业?请举手!”有42人举手。最后问:“谁语文、数学作业都没有做完?”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。

分析完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共有37+42=79人,多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次。所以,这个班语文、数作业都完成的有:79-48=31人。

【典例分析02】某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对?

分析与解答:已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15人,可以求出只答对第一题的有25-15=10人。又已知答对第二题的有23人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数:10+23=33人。所以,两题都答得不对的有36-33=3人。

【典例分析03】某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?

分析与解答:要求两科竞赛同时参加的人数,应先求出至少参加一科竞赛的人数:56-25=31人,再求两科竞赛同时参加的人数:28+27-31=24人。

【典例分析04】在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个?

分析与解答:从1到100的自然数中,减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中,5的倍数有100÷5=20个,6的倍数有16个(100÷6=16……4),其中既是5的倍数又是6的倍数(即5和6的公倍数)的数有3个(100÷30=3……10)。因此,是6或5的倍数的个数是16+20-3=33个,既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是:100-33=67个。

【典例分析05】光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅?

分析与解答:由题意知,24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数,22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24+22=46幅,这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数,从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品,即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数,再除以2,即可求出其他年级参展作品的总数。(24+22-10)÷2=18幅。

真题百分练

真题百分练

1.(2分)(2022秋?徽县期末)三年级同学参加跳绳比赛(如图),参加这两个项目的一共有多少人?下面解答正确的是()

A.25+42 B.25+42+6 C.25+42﹣6

2.(2分)(2022秋?吉首市期末)同学们去动物园参观,每人至少参观了大象馆和猴子馆中的一个馆,参观大象馆的有10人,参观猴子馆的有15人,两个馆都参观的有6人。一共有()人去动物园参观。

A.25 B.19 C.31

3.(2分)(2022秋?汇川区期末)某次比赛中三(1)班获得“阅读之星”称号的有22人,获得“速算小能手”称号的有35人,两种称号都获得的有15人,全班每人至少获得了一种称号。三(1)班一共有()人。

A.57 B.62 C.42

4.(2分)(2022春?天心区期末)北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”一亮相,好评不断。某班共45人,其中30人喜爱冰墩墩,25人喜爱雪容融,1人对这两个吉祥物都不喜爱,则既喜欢冰墩墩又喜欢雪容融的有()人。

A.25 B.44 C.9 D.11

5.(2分)某班有50名同学,在一次测验中答对第一题的有25人,答对第二题的有20人,两题都答对的有10人,则有()名同学两题都不对.

A.10 B.15 C.20

二.填空题(共8小题,满分16分,每小题2分)

6.(2分)(2022秋?勃利县期末)三年级同学参加跳绳和拍球比赛,参加跳绳比赛的有18人,参加拍球比赛的有12人,两项比赛都参加的有2人,参加跳绳和拍球比赛的一共有人。

7.(2分)(2022秋?曾都