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2022-2024北京重点校高一（下）期末数学汇编
数列的概念
一、填空题
1．（2022北京清华附中高一下期末）在数列中各项均为正数，且，给出下列四个结论：
①对任意的，都有
②数列不可能为常数列
③若，则数列为递增数列
④若，则当时，
其中所有正确结论的序号是.
二、解答题
2．（2024北京清华附中高一下期末）对给定的正整数，设数列，若存在，使得，则将数列进行操作变换，得到数列，且为，或之一，记为.设（个），从开始进行次操作变换，依次得到数列，即，.
(1)当时，分别判断从开始进行次操作变换，是否可以得到如下数列？若不可以，直接判断即可；若可以，请写出相应的及；
①；②；③；
(2)当时，从开始进行次操作变换，是否可能得到数列？若不可以，请说明理由；若可以，求出与的所有可能取值.
(3)给定正奇数，为使的各项均不相同，求操作变换次数的最小值.
3．（2024北京东城高一下期末）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，定义，，以及．
(1)若，，，，求；
(2)若，均为中的元素，且，，求的最大值；
(3)若均为中的元素，其中，，且满足，求的最小值．
4．（2023北京101中学高一下期末）已知有穷数列满足.给定正整数m，若存在正整数，使得对任意的，都有，则称数列A是m-连续等项数列.
(1)判断数列是否是3-连续等项数列，并说明理由；
(2)若项数为N的任意数列A都是2-连续等项数列，求N的最小值；
(3)若数列不是4-连续等项数列，而数列，数列与数列都是4-连续等项数列，且，求的值.
5．（2023北京北师大附中高一下期末）已知有限数列共M项，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等.将数列的各项和记为．
(1)若，直接写出的值；
(2)若，求的最大值；
(3)若，求的最小值
6．（2022北京清华附中高一下期末）设数列中每一项都是正整数，如果两两不同，则称数列为数列.设，并且记中的元素个数为.
(1)判断数列与数列是否为数列，并说明理由；
(2)若数列为数列，且，求证：的最小值为4；
(3)若数列为数列，且，求证：.
参考答案
1．①③④
【分析】结合数列递推式研究数列的单调性，逐项判断即可.
【详解】解：对于①，在数列中，，则，
又对于任意的都有，则，即，
即对于任意的，都有，故①项正确；
对于②，不妨设数列可能为常数列，则，
又，则，则，
即时，数列为常数列，故②项错误；
对于③，
又，则，即，
同理，当，都有，即，
即，即数列为递增数列，故③项正确；
对于④，，则，即，
同理，当，都有，
又，即数列为递减数列，
即当时，，故④项正确.
故答案为：①③④.
2．(1)①可以，，，，；②不可以；③不可以
(2)，
(3)
【分析】（1）直接根据操作变换的定义判断并证明；
（2）利用每次变换后各项之和以及各项的平方和的变化规律即可证明，，然后给出符合条件的例子即可；
（3）利用每次变换后各项之和以及各项的平方和的变化规律证明，
再证明可以由数列经过次操作变换得到一个各项互不相同的数列，即可得到操作变换次数的最小值为.
【详解】（1）对于①，可令，且，，，，即可得到所求数列；
对于②，显然无论怎样变换，数列的各项之和是不变的，因此从开始进行有限次变换后，数列的各项之和必定为零，
故②中的不可能得到；
对于③，假设当时，通过若干次变换后得到了包含的数列，那么设数列第一次出现，
由于这个必定是由变得的，从而必定包含两个.
但由于数列的各项之和必定为零，故另外两项或者都是，或者包含一个不大于的项.
若另外两项都是，则可以不妨设（因为各项的顺序并不重要），
直接验证即知，从该数列中任意挑选一项加，再任意挑选另一项减后，得到的两个新项不可能相等，
所以不可能由某个数列变换得到，这导致矛盾；
所以另外两项必定包含一个不大于的项，这就说明，若通过若干次变换后得到了包含的数列，
则在第一次出现之前就必定已经出现过.
但同理可证，若通过若干次变换后得到了包含的数列，则在第一次出现之前就必定已经出现过.
所以二者结合即知，和都是不可能出现的，故③中的不可能得到.
（2）当时，若能从数列经过有限次变换得到数列，由于在变换的过程中数列的各项之和保持不变，
故，从而必有，故.
由于，故在每次变换后，数列的各项平方和会比变换之前增加，
而的各项平方和为，的各项平方和为，故必定有，即.
下面的变换过程表明，能够实现：
，，，，，.
故与的所有可能取值为，.
（3）先证明一个公式：对正整数，有.
证明：考虑在中从小到大取出三个不同的数的取法数目.
一方面，取法显然有种；
另一方面，的全部可能选择为，当取定为后，有种可能的选择，
有种可能的选择，且和的选择