§5.3平面向量的数量积
课标要求1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
1.向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA=a，OB=b，则=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.?
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量a与b的数量积，记作.?
3.平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB=a，CD=b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量
4.向量数量积的运算律
(1)a·b=.?
(2)(λa)·b==(λ∈R).?
(3)(a+b)·c=.?
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示
坐标表示
数量积
a·b=|a||b|cosθ
a·b=?
模
|a|=_______
|a|=?
夹角
cosθ=?
cosθ=?
a⊥b的充要条件
a·b=0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2+y1y2|≤(
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.(
(2)若a，b共线，则a·b=|a||b|.()
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.()
(4)若a·b=a·c，则b=c.()
2.已知△ABC的三个顶点为A(-1，-4)，B(5，2)，C(3，4)，则△ABC是()
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.已知a=(1，2)，|b|=23，a·b=-3，则a与b的夹角为.?
4.已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为2π3，且a+b+c=0，则|c|=
熟记以下常用结论
(1)平面向量数量积运算的常用公式
①(a+b)·(a-b)=a2-b2.
②(a±b)2=a2±2a·b+b2.
③a2+b2=0?a=b=0.
(2)有关向量夹角的两个结论
①若a与b的夹角为锐角，则a·b0；若a·b0，则a与b的夹角为锐角或0.
②若a与b的夹角为钝角，则a·b0；若a·b0，则a与b的夹角为钝角或π.
(3)a在b上的投影向量为a·b|b|·b|b
题型一平面向量数量积的基本运算
例1(1)(多选)如图，点A，B在圆C上，则AB·AC的值()
A.与圆C的半径有关
B.与圆C的半径无关
C.与弦AB的长度有关
D.与点A，B的位置有关
(2)如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB，AD向外分别作正方形ABEF，ADMN，其中AB=2，AD=1，∠BAD=π4，则AC·FN=
?
?
极化恒等式
1.极化恒等式
在平面向量中：
(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，
两式相减可得极化恒等式：a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2]
2.几何解释
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的14，即a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即AB·AC＝AM2－MB2
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
典例(1)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b等于()
A.1 B.2 C.3 D.5
(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是.
思维升华计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b=|a||b|cos〈a，b〉.
(2)利用坐标运算，若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，
则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
跟踪训练1(1)(2025·扬州模拟)已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则(2e1-e2)·e2等于()
A.-2