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2022-2024北京重点校高一（下）期末数学汇编
导数及其应用章节综合（人教B版）
一、单选题
1．（2022北京清华附中高一下期末）已知函数，其中，且给出下列三个结论：
①函数是单调函数；
②当时，函数的图象关于直线对称；
③存在时，使方程恰有1个实根
其中所有正确结论的序号是（????）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
2．（2024北京清华附中高一下期末）函数，其中且，若函数是单调函数，则的一个取值为，若函数存在极值，则的取值范围为.
3．（2023北京海淀高一下期末）已知函数，取点，过作曲线的切线交y轴于，取点，过作曲线的切线交y轴于依此类推，直到当时停止操作，此时得到数列.给出下列四个结论：①；②当时，；③当时，恒成立；④若存在k∈N*，使得，，…，成等差数列，则k的取值只能为3.其中，所有正确结论的序号是.
4．（2023北京海淀高一下期末）已知函数在区间上是单调函数，则正数的一个取值为.
三、解答题
5．（2024北京清华附中高一下期末）已知函数，.
(1)若曲线y=fx在处切线过原点，求的值；
(2)若在上最小值为1，求的值；
(3)当时，若，都有，求整数的最小值.
6．（2024北京清华附中高一下期末）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)证明：对，函数有且仅有两个极值点，，并求函数的单调区间；
(3)在（2）的条件下，若，求实数的取值范围.
7．（2023北京海淀高一下期末）已知函数，若函数在点处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)求的单调区间；
(3)当时，若存在常数，使得方程有两个不同的实数解，，求证：.
8．（2022北京清华附中高一下期末）设，函数.
(1)若，求的值；
(2)求证：恰有1个极小值点，恰有1个零点：
(3)若是的极值点，是的零点，求证：.
9．（2022北京清华附中高一下期末）已知函数，其中.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求函数在区间上的最小值
(3)若在区间上的最大值为，直接写出的值.
参考答案
1．D
【分析】对①，分别讨论和判断单调性即可；对②，设在，得出点在可判断；对③，取，判断与相切可判断.
【详解】对①，若，在单调递减，在单调递减，且，所以在上单调递减；若，在单调递增，在单调递增，且，所以在上单调递增，所以函数是单调函数，故①正确；
对②，当时，设在上，可得，，即点在上，所以函数的图象关于直线对称，故②正确；
对③，令，则，因为，所以0是方程的1个实数根，
当时，，则，所以是在处的切线，所以在与没有交点，
当时，，所以是在处的切线，所以在与没有交点，
综上，存在，使方程恰有1个实根，故③正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查分段函数的性质，函数与方程的应用，第三问的解题关键是利用切线判断，取特殊值是关键点.
2．2（满足均可）
【分析】空1：若函数是单调函数，分析可知：在上单调递增，根据分段函数单调性列式求解；空2：若函数存在极值，则在上不单调，直接取反空1的取值范围即可.
【详解】因为且，若函数是单调函数，结合二次函数可知：在上单调递增，
则，解得，例如；
可知为连续不断函数，若函数存在极值，则在上不单调，
所以的取值范围为.
故答案为：2（满足均可）；.
3．②③④
【分析】对函数进行求导之后，利用导数的几何意义可以利用直线的点斜式方程写出切线方程，令，即可求出，判断出②正确；利用，求出，利用，可以判断出①错误；利用，构造函数，利用函数的单调性求出最大值，即可判断出③正确；假设存在正整数满足条件，利用等差数列的定义得到数列也为等比数列，公差为零，得出矛盾,再验证满足条件，从而④正确.
【详解】因为，所以则，
所以在点处的切线方程为，
令，得，
所以，所以②正确；
根据上式，令，则，解得，故①错误；
又当时，，
设，
则，
令，得令，得
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以
所以当时，，故③正确；
假设存在正整数使得，，…，成等差数列，设公差为，
则
所以，
可知该数列既是等差数列又是等比数列，
故但与矛盾，故该数列不是等差数列，
故不存在正整数使得，，…，成等差数列.
当时，
又由得，
令，
其中
故存在，使得即
所以存在，使得，，…，成等差数列，故④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用