一道模考压轴题的背景与多解探析
数学知识发轫于问题，活用于问题解决.剖析典型试题的命题立意、命题背景，探究多样化的解法以及沟通各种解法之间的内在联系，是发展解题水平、达到解题目的的一条值得尝试的路径，也是体味数学源头的一种方法.
一、试题呈现
（2022届南昌市高三第一次模拟测试理科第12题）已知A－1，0，B3，0，P是圆O：x2+y2=45上的一个动点，则sin∠APB的最大值是（）.
本题通过设置鲜活灵动的问题情境，考查一类最大张角问题，重点考查直观想象、数学建模、数学运算、逻辑推理等数学核心素养.另一方面，试题一改往常解析几何、立体几何或导数试题压轴的命题惯例，而是选取了正弦定理、圆与圆的位置关系等“基础”知识命制试题压轴，破旧立新的背后旨在引导教师破除思维定势，全面备考，科学训练，摒弃以往醉心于“押题”训练、“套路”训练的旧有思维.总之，本题立意新颖，导向鲜明，内蕴丰富，具有较高的挖掘价值.
二、命制背景
本题源于经典的米勒问题.1471年，德国数学家、天文学家米勒（Johannes，miller）向诺德尔（Chri-stian，roder）教授提出了如下有趣的问题：如图1所示，在地球表面的什么部位，一根垂直的懸杆呈现最长（即可视角最大）？上述最大视角问题因米勒首先提出，故称之为米勒问题.米勒问题广泛分布于各种实际问题中，例如探求欣赏一幅画的最佳角度、足球比赛最佳射门点等，成为世界数学史上100个著名极值问题中的首个极值问题.
将上述问题加以抽象，即为如下问题：“如图2，设M，N是角∠AOB的一边OA上的两点，试在边OB上找一点P，使∠MPN最大.”对于上述问题，我们有如下定理：
米勒定理：设M，N是角∠AOB的一边OA上的两点，点P是射线OB上异于O点的一动点，则当且仅当△MNP的外接圆与射线OB相切于点P时，∠MPN最大.［2］
证明：如图3，在射线上任取异于P点的一点P′，连接MP′，NP′，NP′与圆相交于点C.由圆周角大于圆外角得∠MCN∠NP′M.又因为∠MCN=∠MPN，所以∠MPN∠MP′N，得证.
三、问题解答
以下分别从∠APB的正弦、余弦、正切值的最值问题探讨三个思路寻求解题突破口.
思路一：利用正弦定理和米勒定理探索最值
本题探求一角正弦值的最小值问题，联想到正弦定理，可转化为△ABP的外接圆半径最小值问题.再根据米勒定理，转化为圆与圆的内切关系问题，利用圆心距与两圆半径之间的关系式构造方程求得最小半径.
解法1：如图4所示，设△ABP的外接圆半径为R，则AB/sin∠APB=2R，从而sin∠APB=AB/2R=2/R.由米勒定理知，当△ABP的外接圆与圆O相内切时，R最小，sin∠APB最大.设△ABP的外接圆的圆心为C，则C1，4－R2.因为OC=35－R，所以R2－3=35－R，解得R=85/5，sin∠APB的最大值是5/4，故选C.
思路二：应用余弦定理和基本不等式求解最值
从结论出发联系余弦定理，cos∠APB=PA2+PB2－AB2/2PA·PB=PA2+PB2－16/2PA·PB.于是，可考虑借助已知条件建立PA，PB长度间的关系，再结合基本不等式，放缩求出cos∠APB的最值问题.
解法2：（利用∠AOP与∠BOP的互补关系建立PA，PB长度间的关系式）设PA=m，PB=n，显然cos∠AOP=－cos∠BOP，由余弦定理得12+452－m2/2×1×45=－32+452－n2/2×3×45，化简得3m2+n2=192，即有3m2+n2/192=1，所以cos∠APB=m2+n2－42/2mn=m2+n2－16/1923m2+n2/2mn=9m2+11n2/24mn≥29m2×11n2/24mn=11/4，从而sin∠APB的最大值是1－11/42=5/4，故选C.
点评：利用“1”的代换，借助基本不等式实施放缩，求得余弦值的最小值.
解法3：（利用向量恒等式建立PA，PB长度间的关系式）设PA=m，PB=n，∠APB=θ，易知PO=3PA+PB/4，平方得PO2=9PA2+6PA·PB+PB2/16，即45=9m2+6mncosθ+n2/16，解得cosθ=720－9m2－n2/6mn，由余弦定理得cosθ=m2+n2－16/2mn，所以720－9m2－n2/6mn=m2+n2－16/2mn，化简得3m2+n2=192，下同解法2.
解法4：（借助斯特瓦尔特定理建立PA，PB长度间的关系式）设PA=m，PB=n，由斯特瓦尔特（Stewart）定理得PA2·OB+PB2·OA=PO2·AB+AB·AO·BO，即有3PA2+PB2=45×4+1×3×4，亦即3m2+n2=192，下同解法2.
思路三：借助两角差的正切公式和过P的直线系方程探求最值
设出点P的坐标x，y，从∠