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2022-2024北京重点校高二（下）期末数学汇编
离散型随机变量及其分布列
一、单选题
1．（2023北京通州高二下期末）已知离散型随机变量的分布列为，则（????）
A． B． C． D．1
2．（2022北京高二下期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（????）
①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数；
②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离；
③某同学射击3次，命中的次数；
④某电子元件的寿命；
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
二、解答题
3．（2024北京大兴高二下期末）某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．
(1)求至少回答正确一个问题的概率；
(2)求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列．
4．（2023北京朝阳高二下期末）某保险公司2022年的医疗险理赔服务报告给出各年龄段的投保情况与理赔情况，统计结果如下：
??
注：第1组中的数据13%表示0-5岁年龄段投保人数占全体投保人数的百分比为13%；
24%表示0-5岁年龄段理赔人数占全体理赔人数的百分比为24%．其它组类似．
(1)根据上述数据，估计理赔年龄的中位数和第90百分位数分别在第几组，直接写出结论；
(2)用频率估计概率，从2022年在该公司投保医疗险的所有人中随机抽取3人，其中超过40岁的人数记为，求的分布列及数学期望；
(3)根据上述数据，有人认为“该公司2022年的理赔的平均年龄一定小于投保的平均年龄”，判断这种说法是否正确，并说明理由．
5．（2022北京石景山高二下期末）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击3次．
（1）求恰有2次击中目标的概率；
（2）现在对射手的3次射击进行计分：每击中目标1次得1分，未击中目标得0分；若仅有2次连续击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记为射手射击3次后的总得分，求的概率分布列与数学期望．
参考答案
1．B
【分析】根据随机变量分布列的定义即可得到答案.
【详解】由题意得，则，
故选：B.
2．C
【分析】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.
【详解】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；
对于②，沿直线进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；
对于③，某同学射击3次，命中的次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量；
对于④，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量；
故选：C.
3．(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）依题意随机变量的所有可能取值为，，，，，，求出对应概率，即可得分布列.
【详解】（1）设至少回答正确一个问题为事件，则；
（2）这位同学回答这三个问题的总得分的所有可能取值为，，，，，，
所以，，
，，
，，
随机变量的分布列是
0
10
20
30
40
4．(1)理赔年龄的中位数在第4组，理赔年龄的第90百分位数在第5组
(2)分布列见解析；期望为
(3)不正确，理由见解析
【分析】（1）根据中位数和第90百分位数所占比例判断所在组；
（2）列出随机变量的分布列，然后求解数学期望；
（3）直方图表示的是年龄区间，不能具体判断真是平均数，举反例说明；
【详解】（1）理赔年龄的中位数在第4组，理赔年龄的第90百分位数在第5组．
（2）用频率估计概率，从投保医疗险的人中随机抽取1人超过40岁的概率为．
的所有可能取值为．
．
．
．
．
所以随机变量的分布列为：
所以随机变量的数学期望：
．
（3）不正确．
反例，比如理赔的年龄比较靠近每一组区间的右端点，投保的年龄比较接近每一组区间的左端点，这样估计的结果就是理赔的平均年龄较大．
用区间的右端点估计理赔的平均年龄为：
用区间的左端点估计投保的平均年龄为：
因为32.1326.62，所以说法不正确．
5．（1）；（2）
【分析】（1）先记“射手射击3次，恰有2次击中目标”为事件，根据题中条件，即可得出结果；
（2）先由题意确定的可能取值，求出对应概率，进而可得出分布列，再由分布列求出期望即可.
【详解】（1）记“射手射击3次，恰有2次击中目标”为事件，
因为射手每次射击击中目标的概率是，
所以；
（2）由题意可得，的可能取值为，
；；
，，
；
所以的分布列如下：
因此，.