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2022-2024北京重点校高二（下）期末数学汇编
二次函数与一元二次方程、不等式
一、单选题
1．（2023北京朝阳高二下期末）不等式的解集为空集，则的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
2．（2022北京汇文中学高二下期末）函数的定义域为，则实数的取值范围为（????）
A．或 B．或
C． D．
3．（2022北京理工大附中高二下期末）已知函数.以下四个命题:
①，使得；??????②，使得；
③，均有成立；???????④，均有成立.
其中所有正确的命题是（????）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
二、填空题
4．（2024北京通州高二下期末）不等式的解集是．
5．（2023北京海淀高二下期末）不等式的解集是．
6．（2023北京朝阳高二下期末）已知，则关于的不等式的解集是．
三、解答题
7．（2022北京人大附中朝阳学校高二下期末）已知命题对于成立，命题关于k的不等式成立．
(1)若命题p为真命题，求实数k的取值范围；
(2)若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
8．（2022北京密云高二下期末）已知关于的不等式，其中为参数.
(1)从条件①?条件②?条件③中选择一个作为已知，使得不等式有非空解集，并求此不等式的解集；
条件①：；条件②：；条件③：.
(2)若不等式的解集为，求的取值范围.
参考答案
1．A
【分析】由题意可得，解出的取值范围，即可得出答案.
【详解】因为不等式的解集为空集，
所以，解得：.
则的取值范围是.
故选：A.
2．C
【分析】的定义域要使给出的分式函数定义域为实数集，是指对任意实数分式的分母恒不等于0，对分母的二次三项式进行分类讨论，分，和讨论，当时，需要二次三项式对应的二次方程的判别式小于0.
【详解】函数的定义域为，
对恒不为零，
当时，成立；
当时，需△，解得.
综上，使函数的定义域为的实数的取值范围为.
故选：C
3．A
【分析】根据一元二次方程根的判别式及二次函数的性质并结合两者之间的联系逐项判断即可．
【详解】解：令，
所以，
因为为开口向上的二次函数，
所以对任意，总存在使得，故②正确④错误；
因为当，，时，，
所以方程，无解，
所以恒成立，故①正确；
因为当，时，，
所以方程，有一根或两根，
所以对任意，不恒成立，故③错误．
故选：．
4．
【分析】根据一元二次不等式求解即可.
【详解】因为,
所以或.
故答案为：
5．或.
【分析】将分式不等式化为一元二次不等式求解即可.
【详解】等价于，即，等价于，解得：或.
即不等式的解集是或.
故答案为：或.
6．
【分析】关于的不等式等价于，结合的范围，比较根的大小，即可得结果.
【详解】关于的不等式等价于，
由，得，
所以不等式的解集为.
故答案为：..
7．(1)
(2)
【分析】（1）根据命题为真命题可得，解不等式即可；
（2）分类讨论，和求出实数m的取值范围，再由命题p是命题q的必要不充分条件，求解即可.
【详解】（1）若命题为真，则有，
解得，
所以实数k的取值范围为：.
（2）设集合，
关于k的不等式成立，
若，不等式的解集为：，
若，不等式的解集为：，
若，不等式的解集为：，
因为命题p是命题q的必要不充分条件，
若，则为的真子集，故成立，
若，需满足为的真子集，则，所以，
若，需满足为的真子集，则，所以，
所以实数m的取值范围为：.
8．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）若选条件①：，不等式为，即，求解即可；
若选条件②：，不等式为即，由根的判断式可判断其无解；
若选条件③：，不等式为，求解即可.
（2）分和两种情况讨论可求解答案.
【详解】（1）解：若选条件①：时，不等式为，即，解得，
所以不等式的解集为；
若选条件②：，不等式为，即，其中，所以不等式无解；
若选条件③：，不等式为，解得或，
所以不等式的解集为.
（2）解：当时，不等式为，满足不等式的解集为，故；
当时，要使不等式的解集为，则，解得，
综上得的取值范围为.