第PAGE1页/共NUMPAGES1页
2024北京重点校高二（下）期末数学汇编
函数的应用（二）
一、单选题
1．（2024北京海淀高二下期末）“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为（????）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2024北京第二中学高二下期末）已知函数，，的零点分别为a，b，c，则（????）
A． B． C． D．
3．（2024北京顺义高二下期末）函数的零点是（????）
A． B． C．10 D．
4．（2024北京朝阳高二下期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为（????）
A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时
5．（2024北京人大附中朝阳学校高二下期末）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2024北京人大附中朝阳学校高二下期末）设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是.
7．（2024北京通州高二下期末）已知函数，关于以下四个结论：
①函数的值域为；
②当时，方程有两个不等实根；
③当，时，设方程的两个根为，，则为定值；
④当，时，设方程的两个根为，，则．
则所有正确结论的序号为．
8．（2024北京第二中学高二下期末）已知函数，其中且．给出下列四个结论：
①若，则函数的零点是；
②若函数无最小值，则的取值范围为0,1；
③若存在实数，使得对任意的，都有，则的最小值为1；
④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，，，则的取值范围为2,3，且的取值范围为．
其中，所有正确结论的序号是．
9．（2024北京东城高二下期末）设，函数给出下列四个结论：
①当时，函数的最大值为0；
②当时，函数是增函数；
③若函数存在两个零点，则；
④若直线与曲线恰有2个交点，则.
其中所有正确结论的序号是.
10．（2024北京朝阳高二下期末）已知函数，给出下列四个结论：
①函数在上单调递增；
②函数的图象关于直线对称；
③恒成立；
④函数有且只有一个零点.
其中所有正确结论的序号是.
11．（2024北京人大附中朝阳学校高二下期末）已知函数f(x)的定义域为R，满足f（x+2）＝2f(x)，且当x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3.有以下三个结论：
①f（-1）；
②当a∈（，]时，方程f(x)＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根；
③函数f(x)有无穷多个零点，且存在一个零点b∈Z.
其中，所有正确结论的序号是.
参考答案
1．C
【分析】由题可知截取第n次后，剩余的棍棒长为尺,然后列不等式可求出n的值.
【详解】由题意可知第一次剩余的棍棒长度为12
则第n次剩余的棍棒长为尺，
由，解得，
所以当剩余的棍棒长度小于1厘米时,需要截取的最少次数为7.
故选:C.
2．D
【分析】利用数形结合思想来作图分析零点大小.
【详解】由函数零点可知：，，
利用数形结合，构造三个函数它们与的交点横坐标就是对应的三个零点.
由图可知：，
故选：D.
3．A
【分析】令即可求解.
【详解】令，可得，解得，
故函数的零点是.
故选：A.
4．A
【分析】首先求出函数解析式，再令求出相应的的取值范围，即可得解．
【详解】当时，则，
当时，设函数为，
将，代入可得，解得，所以，
所以，
要使，则或，解得或，
综上所述：，
所以有效所持续的时长为个小时．
故选：A．
5．C
【分析】根据零点存在定理得出，代入可得选项.
【详解】由题可知：函数单调递增，若一个零点在区间内，则需：，
即，解得，
故选：C.
【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题.
6．
【分析】根据给定条件，按和分类讨论，结合指数函数值域求解即得.
【详解】当时，若，则，
若，则，当且仅当时取等号，
则当时，恰有一个零点，因此；
当时，若，则，
若，，显然，此时有一个解，
由恰有一个零点，则当且仅当，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
7．①②④
【分析】分析函数的性质求出值域判断①；求出方程的根依次判断②③④即得.
【详解】对于①，函数，由于，故，
因此函数的值域为，①正确；
对于②，当时，方程，解得或，
而，方程有两个不等实根，②正确；
对于③，当时，，不妨令，，则，
则，由于在上单调递增，
故随的增大而增大，③错