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2022-2024北京重点校高二（下）期末数学汇编
利用导数解决实际问题（人教B版）
一、单选题
1．（2023北京延庆高二下期末）现有一块边长为米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（????）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
2．（2024北京大兴高二下期末）已知某商品的日销售量单位：套与销售价格单位：元/套满足的函数关系式为，其中，为常数．当销售价格为元/套时，每日可售出套．
（1）实数；
（2）若商店销售该商品的销售成本为每套3元（只考虑销售出的套数），当销售价格元/套时（精确到），日销售该商品所获得的利润最大．
3．（2023北京房山高二下期末）如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则小正方形的边长为时，这个纸盒的容积最大，且最大容积是．
??
4．（2023北京海淀高二下期末）随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务．某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，推荐系统的准确率约为，平台软件收入为元．已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当收集的数据量为万条时，该软件能获得最高收益．
三、解答题
5．（2024北京西城高二下期末）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池的底面是正方形，且水池最大储水量为．已知水池底面的造价为，侧面的造价为．（注：衔接处材料损耗忽略不计）
(1)把水池的造价S（单位：元）表示为水池底面边长x（单位：m）的函数；
(2)为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？
6．（2023北京怀柔高二下期末）已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且
(1)求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）；
(2)将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大.
7．（2023北京西城高二下期末）某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时8元；固定部分成本为每小时128元．
(1)设该轮船航行速度为，试将其每小时的运输成本表示为的函数；
(2)当该轮船的航行速度为多少时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？
8．（2022北京西城高二下期末）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是．
(1)把商品的利润表示为生产量x的函数；
(2)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
参考答案
1．C
【分析】设截去的小正方形边长为米，再根据题意得出无盖容器的体积，进而求导分析体积最大值时的值即可.
【详解】设截去的小正方形边长为米，由题意容器底边长为米，高为米，
故体积，则.
故当时，单调递增；当时，单调递减.
故为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为米.
故选：C
2．
【分析】设，，根据求出，设商店日销售该商品所获得的利润为，则，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极大值点，从而得解.
【详解】设，，
依题意，解得，则，；
设商店日销售该商品所获得的利润为，则由题可得：
，.
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取最大值，
故当销售价格时，日销售该商品所获得的利润最大.
故答案为：；
3．2144
【分析】设剪下的四个小正方形的边长为xcm，利用长方体的体积公式得到体积V关于x的函数，再应用导数研究其单调性并求出最值作答.
【详解】设剪下的四个小正方形的边长为xcm，
则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒的底面矩形长为cm，宽为cm，
则长方体纸盒的底面积为，而长方体纸盒的高为xcm，
于是长方体纸盒的体积（），，
求导得，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
所以当时，()．
故答案为：2；144
4．19
【分析】由结合导数得出答案.
【详解】设收益为元，则，.
当时，；当时，.
即函数在上单调递增，在上单调递减.
即当收集的数据量为万条时，该软件能获得最高收益．
故答案为：19
5．(1)
(2)为使水池的总造价最低，应确定水池底面的边长为2m
【分析