第1页，共28页，星期日，2025年，2月5日第一章一元线性回归模型以下设x为自变量(普通变量)Y为因变量(随机变量).现给定x的n个值x1,…,xn,观察Y得到相应的n个值y1,…,yn,(xi,yi)i=1,2,…,n称为样本点.以(xi,yi)为坐标在平面直角坐标系中描点,所得到的这张图便称之为散点图.第2页，共28页，星期日，2025年，2月5日第3页，共28页，星期日，2025年，2月5日§1.1模型的建立及其假定条件例如：研究某市可支配收入X对人均消费支出Y的影响。建立如下理论回归模型：Yi=?0+?1Xi+εi其中：Yi——被解释变量；Xi——解释变量；εI——随机误差项；?0，?1—回归系数随机变量εi包含：回归模型中省略的变量;确定数学模型的误差；测量误差一、一元线性回归模型第4页，共28页，星期日，2025年，2月5日XY80100120140160180200220240260556579801021101201351371506070849310711513613714515265749095110120140140155175708094103116130144152165178758598108118135145157175180－88－113125140－160189185－－－115－－－162－191户数5657665765总支出32546244570767875068510439661211假设调查了某社区所有居民，他们的人均可支配收入和消费支出数据如下：第5页，共28页，星期日，2025年，2月5日YX5510012014016080描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。第6页，共28页，星期日，2025年，2月5日二、随机误差项εi的假定条件为了估计总体回归模型中的参数，需对随机误差项作出如下假定：假定1：零期望假定：E(εi)=0。假定2：同方差性假定：Var(εi)=?2。假定4：εi服从正态分布，即εi?N(0,?2)。假定3：无序列相关假定：Cov(εi,εj)=0,(i?j)。前三个条件称为G-M条件第7页，共28页，星期日，2025年，2月5日§1.2一元线性回归模型的参数估计普通最小二乘法（OrdinaryLeastSquares）OLS回归直线的性质OLSE的性质第8页，共28页，星期日，2025年，2月5日一、普通最小二乘法对于所研究的问题，通常真实的回归直线E(Yi|Xi)=?0+?1Xi是观测不到的。可以通过收集样本来对真实的回归直线做出估计。经验回归直线：其中：为Yi的估计值（拟合值）；为?0,?1的估计值；如果观测值到这条直线的纵向距离（真实值与估计值的偏差）用ei表示（称为残差），则经验回归模型为：（ei为εi的估计值）第9页，共28页，星期日，2025年，2月5日注意：分清4个式子的关系（4）经验（估计的）回归直线：（1）理论（真实的）回归模型：（3）经验（估计的）回归模型：（2）理论（真实的）回归直线：第10页，共28页，星期日，2025年，2月5日对于参数的估计采用最小二乘估计法、最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置（即估计参数）。（Q为残差平方和）Q===则通过Q最小确定这条直线，即确定，以为变量，把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数：==0==0正规方程组即第11页，共28页，星期日，2025年，2月5日根据以上两个偏导方程得以下正规方程（Normalequation）：第12页，共28页，星期日，2025年，2月5日若记则第13页，共28页，星期日，2025年，2月5日二、OLS回归直线的性质（1）估计的回归直线过点