如何在小学渗透计数方法
【摘要】计数原理作为概念，对小学生而言，抽象、晦涩。而作为排列组合最基本的思想方法，教学中有必要通过“搭配”活动，引导学生感悟有序枚举，进而将计数原理的应用渗透到学生的日常生活中。
【关键词】计数原理加法原理乘法原理
计数原理作为排列组合最基本的思想方法，分为“加法原理”和“乘法原理”。计数原理的概念，对于小学低年级的学生而言，较为抽象且难以理解，因此曹培英教授认为“就知识而言，只是渗透与孕伏”。
如何让小学生理解这两个基本原理呢？在北师大版数学三年级上册“搭配中的学问”中有涉及。本课的核心问题是小丑的服装搭配问题，即小丑有2顶帽子和3条裤子的搭配，一共有多少种不同的搭配方式？运用“加法原理”可以这样理解，第1类，第1顶帽子搭配3条裤子，有3种不同的方法；第2类，第2顶帽子搭配3条裤子，有3种不同的方法。这两类可以用算式3+3=6表达。运用“乘法原理”理解，则强调分步讨论，第1步，选择2顶帽子中的其中1顶，有2种不同的方法；第2步，选择3条裤子中的其中1条，有3种不同的方法。这两步用算式2×3=6表达。
以下是笔者在本课教学中的一些尝试。
【教学片段】
（一）服装搭配，初步感知计数原理
1.情境导入，自主探究
师：儿童节当天，小丑皮皮接受了到学校表演的邀请，衣柜里有这些服装，皮皮想给自己选一顶帽子和一条裤子，可以怎样搭配呢？
请你用学具摆一摆，可以怎样搭配？一共有多少种不同的方法？
2.有序枚举，初步感知计数原理
学生借助学具摆一摆，有了不同的搭配方法。教师不急于让学生分享汇报，而是引导学生：同学们都摆好了，找到了不同的搭配方法。咱们把这些方法记录下来。
記一记：用你喜欢的方式（画一画、记一记或写一写等），将不同的摆法记录下来。
算一算：请用算式表达一共有多少种不同的方法。
3.展示交流，渗透计数原理
师：对比这两种方法（如图1、图2），哪里不一样？
生1：第一个同学漏了一种方法。
师：那他究竟少了哪一种？
生1：少了尖帽子和格子裤子的搭配。
师：请你分析一下，是什么原因导致他少画了一种？
生1：可能他还没画完。
生2：你看他画得有点乱，如果他能按照顺序画就不会漏了，先用尖帽子搭配3条裤子，再用方帽子搭配3条裤子，3+3=6（种），一共有6种方法，这样就不会有错了。
师：那第二个同学的呢？
生3：他用第1顶帽子搭配3条裤子，第2顶帽子搭配3条裤子。
师：同学们分析得真好啊！也就是说，我们在思考问题的时候，要按照一定的顺序，才能做到不遗漏，也不重复。
思考：在教学中渗透计数原理的思想方法，首先要引导学生有序思考，不遗漏、不重复地找全所有不同的方法。在教学过程中，让学生经历乱序排列及有序排列的对比，感知“有序思考”有助于快速、全面地解决问题。
师：这个同学记录的方式（如图3）跟刚才两个同学的有什么不同？
生1：他们的搭配方法是一样的，只不过这个同学用的是连线，第1顶帽子连3条裤子，第2顶帽子连3条裤子。
师：我们看他的算式是2×3=6（种），这里的2和3分别表示什么？
生2：2表示的是2顶帽子，3表示3条裤子，搭配起来就是6种方法。
思考：相对于逐一画出每种搭配方法，这种连线的方法显然更方便。在搭配过程中，学生已经初步具有分类的意识，懂得运用“加法原理”进行解析。
师：再来看这种记录方式（如图4），你们能看明白吗？
生1：他用三角形表示帽子，用正方形表示裤子。
师：同学们用画图、文字、数字、图形等方式记录了搭配方法。大家认为哪种记录方式更简便？
生2：用图形。
师：是的，我们在记录的时候可以用图形替代。
思考：相对于象形图，抽象图形等记录方式本质是符号记录方式，不同记录方式的逐一呈现，使学生经历具象到抽象的数学化过程，激活学生的符号意识。而符号意识的培养，有助于学生应用计数原理分析问题，因此也是本课的教学重点。
师：再来看这个同学的搭配方法（如图5），与刚才展示的有什么不同？请小组讨论30秒。
生1：他用1条裤子搭配2顶帽子，再用1条裤子搭配2顶帽子，再用1条裤子搭配2顶帽子。一共有6种方法。
师：他没有写算式，你们认为他会用什么算式表达？
生2：2+2+2=6。
生3：2×3=6。
师：刚刚我们也运用了算式2×3=6（指板书），它们表示的意思相同吗？
生4：刚才是用帽子分别搭配裤子，现在是用裤子搭配帽子。
师：也就是说，前面的方法是先选择了帽子，再搭配裤子，而后面的方法是先选择了裤子，再搭配帽子。两者都可以用算式2×3表示。
思考：从不同的思考角度诠释2×3所表达的意义，分步思考（第一步选择帽子，第二步选择裤子；也可以第一步选择裤子，第二步选择帽子），渗透乘法原理。
4.增加一条裤子，巧妙渗透乘法原理
师：当皮皮拿出帽子和裤子时，他发现衣柜里还有一条裤子，现在又有多少种不同的方法呢？
生1：刚刚说