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四川省绵阳市2025届高三数学二诊试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z=i(2?i)，则|z|=(????)
A.2 B.3 C.5
2.已知集合A={(x,y)|y=x}，B={(x,y)|x2+(y?1)2=1}
A.2 B.1 C.0 D.不确定
3.直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=AA1，AB⊥AC
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.若直线l1：x+2y?3=0与直线l2：kx?2y+1=0k∈R平行，则这两条直线间的距离为
A.55 B.255
5.已知等比数列an的前n项和为Sn，若8S6=7
A.q=2 B.q=12 C.q=?2
6.已知过点P(2,?1)的直线l与抛物线y2=2x交于点A，B两点，若A，B的纵坐标分别为y1，y2，则
A.?4 B.?3 C.0 D.2
7.已知正四棱台ABCD?A1B1C1D1中，AB=2A1
A.263 B.62
8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，若函数f(x)?g(x)的值域为?4,1，则函数f(2x)+g(2x)的最小值为(????)
A.?16 B.?4 C.?1 D.0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于函数fx=sinx+3
A.fx与gx的图象有相同的对称轴
B.fx与gx有相同的最小正周期
C.将fx图象向右平移π2个单位，可得到gx图象
10.设函数fx=x?alnx?
A.fx一定存在单调递减区间
B.存在a，b，使得fx没有最值
C.若fx既有极大值，又有极小值，则a2b
D.令a=2，
11.已知圆C1：x2+y?22=1，双曲线C2：x2a2?y2b2=1a0,b0的左，右焦点分别为
A.e的值唯一 B.PF2=2ae?1
C.1e2 D.C
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=2,1，b=3,?3，则a?
13.已知α+β=π2，tanα+tanβ=3，则cos
14.在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是正多边形，且各个面的边数不全相同.如图，棱长为2的半正多面体是将一个棱长为6的正四面体切掉4个顶点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知A，B，C，D为该半正多面体的四个顶点，点P为其表面上的动点，且PD//平面ABC，则P点的轨迹长度为??????????．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知?ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+b=2ccos
(1)若C=π2，求
(2)若a=1，b=3，求c．
16.(本小题15分)
已知函数fx
(1)若a=0时，求曲线fx在1,f
(2)若1ae时，fx在区间0,1上的最小值为3?2ln2，求实数
17.(本小题15分)
已知数列an是公差大于0的等差数列，数列1anan+1
(1)求数列an
(2)设bn
(i)试写出b1，b2，
(ii)求数列bn的前20项和S20
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P?ABCD中，?ABC是边长为2的等边三角形，PC⊥AC，点E为PD的中点，且AE=AD=2，CD=2
(1)求证：AC⊥BE；
(2)若二面角E?AC?D的平面角的余弦值为33，求三棱锥
(3)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值的最大值．
19.(本小题17分)
如图，已知面积为83的矩形ABCD，与坐标轴的交点E,F,G,H是椭圆Γ：x2
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)O为坐标原点，过下顶点F的直线与x轴相交于点P(不同于O)，与直线AD相交于点R，与椭圆Γ相交于点M，直线HM与直线CD相交于点Q．
(i)证明：OPOG
(ii)设线段QR的中点为S,I,J为椭圆Γ上的两点，且直线SI，SJ与椭圆Γ都仅有一个公共点，OT⊥IJ，垂足为T.探究：是否存在定点K，使得TK为定值?若存在，求点K的坐标以及此定值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1C?
2A?
3C?
4B?
5D?
6B?
7A?
8C?
9BCD?
10BC?
11ABD?
123?
1323
143+2
15解：(1)已知a+b=2ccos?B，由正弦定理可得
因为C=π2，所以sin?C=1
在直角△ABC中，A=π2?B
那么cos?B+sin?B=2