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新高考数学一轮复习
第讲三角函数及诱导公式
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
【典例1-1】若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，角
的终边在直线上，为第一象限角时，；
为第三象限角时，；
综上，角的取值集合是.
故选：D.
【方法技巧】
（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．
（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．
【变式1-1】如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】终边落在阴影部分的角为，，
即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是．
故选：B．
题型二：等分角的象限问题
【典例2-1】已知是第二象限角，则（????）
A．是第一象限角 B．
C． D．是第三或第四象限角
【答案】C
【解析】∵是第二象限角，
∴，，即，，
∴是第一象限或第三象限角，故A错误；
由是第一象限或第三象限角，或，故B错误；
∵是第二象限角，
∴，，
∴，，
∴是第三象限，第四象限角或终边在轴非正半轴，，故C正确，D错误.
故选：C．
【方法技巧】
先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）的象限分布图示．
【变式2-1】已知，，则的终边在（????）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
【解析】因为，，
所以为第二象限角，即，
所以，
则的终边所在象限为所在象限，
即的终边在第一、二、四象限.
故选：D.
题型三：弧长与扇形面积公式的计算
【典例3-1】用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）用成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为．
【答案】
【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，
∵扇形的圆心角为
，解得，
∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长，
，
所以圆锥的轴截面中，，，
由余弦定理可得，
故答案为：
【典例3-2】若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是.
【答案】2
【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，即，
所以扇形面积，
所以当时，取得最大值为，此时，
所以圆心角为（弧度）.
故答案为：2
【方法技巧】
应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【变式3-1】已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角扇形面积最大．
【答案】
【解析】设扇形的半径为，弧长为，
由题意，，
扇形的面积为
，所以当时，
扇形面积取最大值，此时，
所以扇形的圆心角时，扇形面积最大.
故答案为：
【变式3-2】下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环ABCD．已知，．且该扇环的面积为，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的体积为.
【答案】
【解析】如图，设，，，
由题意可知，，解得，，
则，将该扇面作为侧面围成一圆台，
则圆台上、下底面的半径分别为1和2，
所以其高为，
故该圆台的体积为.
故答案为：.
【变式3-3】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
题型四：三角函数的定义
【典例4-1】已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为角的终边经过点，
所以，
因为把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，
所以，
所以.
故选：D.
【典例4-2】已知角的终边经过点，则的值不可能是（????）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【解析】由定义，，
当，合题意；
当，化简得，由于横坐标，角的终边在一、四象限，
所以．
故选：D．
【方法技巧】
（1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
（2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象