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2024-2025学年辽宁省大连市大连育明高级中学高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.点A(cos2,tan2)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.设a=12cos6
A.acb B.cb
3.莱洛三角形是以机械学家莱洛的名字命名，在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形.如图，若莱洛三角形的AC?长为2π3，则该莱洛三角形的面积为(????)
A.2π?33 B.2π?
4.气象台A在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台A正西方向3002km处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40km/h；距离台风中心10010
A.12:00?17:00 B.13:00?18
5.若α∈0,π2,sin
A.23?610 B.2
6.如图，在?ABC中，∠BAC=π4，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若AC=3
A.?1712 B.214 C.13
7.已知平面向量a，b，c，满足a=2，a?b=23，若对于任意实数x，都有b?xa
A.2 B.4 C.6 D.8
8.设函数f(x)=sin(ωx+φ)?12(ω0)，若对于任意实数φ，函数f(x)在区间0,2π上至少有3
A.1,43 B.43,53
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0
A.f(x)的图象关于直线x=?4π3对称
B.f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g(x)=3cos2x
C.fπ12?x的单调递增区间为5
10.已知a、b、c分别为?ABC内角A、B、C的对边，下面四个结论正确的是(????)
A.若AB，则sinAsinB
B.若B=π3,a=23，且?ABC有两解，则b的取值范围是(3,23)
11.莱昂哈德·欧拉(Leon?ardEuler,1707年4月15日～1783年9月18日)，瑞士数学家、自然科学家.欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在1765年首次提出定理：?ABC的外心O，重心G，垂心H依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB=5，AC=3，则下列结论正确的是(????)
A.OH=OA+OB+OC B.3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a与b的夹角为60°，a=(1,0)，|b|=2，则
13.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图1).假定在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当t=0时，筒车上的某个盛水筒M位于点P0(2,?23)处，经过t秒后运动到点P(x,y)，点P的纵坐标满足y=f(t)=Asin(ωt+φ)t≥0,ω0,|φ|π2.已知筒车的轴心O距离水面的高度为2米，设盛水筒M到水面的距离为?(单位：米
14.已知?ABC的内角A,B,C对边分别为a,b,c，BC边上的高为?，?=b+c?a，则sinA的最小值为??????????．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分
在平面直角坐标系中，已知向量a=(2
(1)若a⊥b，求
(2)若α=0，且2a+b和a?λ
16.(本小题15分)
已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=6,∠
(1)若AD为BC边上的高线，求AD的最大值；
(2)已知AM为BC上的中线，∠BAC的平分线AN交BC于点N，且tanB=sinA
17.(本小题15分)
已知f(θ)=sin
(1)当m=1时，求fπ
(2)若f(θ)的最小值为7?32，求实数
(3)对任意的θ∈π4,π，不等式
18.(本小题17分
已知?DEF为等边三角形，点A,B,C分别是线段DE
(1)若?ABC为锐角三角形，且满足sin
①求证：B=C；
②求1A
(2)若∠BAC=60°,AC=3，试问当AB
19.(本小题17分)
设n次多项式Tn(x)=anxn+
(1)若切比雪夫多项式T3(x)=ax