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2024-2025学年广东省深圳市深圳科学高中高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|?1x1}，
A.{x|?1x2} B.{x
2.若复数a+3i2+i是纯虚数，则实数a=
A.?32 B.32 C.?
3.2sin40
A.1 B.3 C.2
4.已知函数f(x)=x?3,x≥10f[f(x+5)],x
A.2 B.4 C.6 D.7
5.已知a1，b2，(a?1)(b?2)=2，则a+b
A.32 B.23 C.
6.连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量(m,n)与向量(?1,1)的夹角θπ2的概率是
A.12 B.13 C.712
7.将一边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，若顶点A,B,C,D落在同一个球面上，则该球的表面积为(????)
A.4π3 B.82π3
8.记?ABC的内角A，B的对边分别为a，b，则“a2b”是“sinAsin
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(????)
A.圆柱的侧面积为4πR2 B.三个几何体的表面积中，球的表面积最小
C.圆柱的侧面积与球面面积相等
10.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可能出现点数6的是(????)
A.甲同学：第25百分位数为3，众数为5 B.乙同学：平均数为3，方差为2.4
C.丙同学：中位数为3，极差为2 D.丁同学：平均数为3，中位数为4
11.已知函数f(x)的定义域为R，对于任意非零实数x,y，均有f(x)x，且f(x+y)f(x)f(y)=
A.f(0)=0B.f(x)为奇函数C.f2xf
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若?OAB的直观图是边长为2的等边?O′A
13.若f(x)=lna+11?x+b是奇函数，则
14.瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在?ABC中，AB=6，AC=2，且∠B=π4，设?ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，若λOG=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=5,
(1)求a与b的夹角；
(2)若向量c为a在b上的投影向量，求a+c
16.(本小题15分)
某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取100名学生的得分(得分均为整数，满分为100分)进行统计．所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组[60,70)，第二组[70,80)，第三组[80,90)，第四组[90,100](单位：分)，得到如下的频率分布直方图．
??
(1)求图中m的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；
(2)根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖．(以每组中点作为该组数据的代表)
17.(本小题12分)
如图，在凸四边形ABCD中，ACsinD=
(1)求证：∠B=2
(2)若AB=BC=2，求四边形ABCD面积的最大值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=m
(1)若m0且f(x)的最大值为2，求函数y=f(x)在
(2)若m=0，函数y=f(x)+f(x+π2)?t在?
(3)已知y=f(x)的一条对称轴方程为x=π4，令F(x)=(x?6)2?f(ωx)，存在常数a
19.(本小题12分)
若函数f(x)满足：对于s,t∈[0,+∞)，都有f(s)≥0,f(t)≥0，且f(s)+f(t)≤f(s+t)，则称函数
(1)试判断函数f1(x)=x2与
(2)设函数f(x)为“T函数”，且存在x0∈[0,+∞
(3)试写出一个“T函数”，满足f(2)=4，且使集合{y|y=f(x),0?x?2}中元素最少(只需写出你的结论)
参考答案
1.B?