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2024-2025学年广东省惠州市五校高一下学期第二次联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z=?7?6i(i是虚数单位
A.?7 B.6 C.?6 D.?6
2.如图，?O′A′B′是一个平面图形的直观图，其中?O′A′
A.2 B.24 C.2
3.在?ABC中，点E在AB边上，且满足AE=BE，则CE=(????)
A.12CB+CA B.?12
4.在?ABC中，已知AB=BC=3,AC=2，则cosB=(????)
A.79 B.89 C.?7
5.一个圆台的母线长为13，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为(????)
A.26π B.1313π C.
6.一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在南偏东30°，行驶x小时后，船到达C处看到灯塔B在南偏西60°，此时测得船与灯塔的距离为303km
A.2 B.3 C.4 D.5
7.设m，n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列结论正确的是(????)
A.若直线m不平行于平面α，则α内不存在与m平行的直线
B.若m//n,m//α，则n//α
C.若m?α,n?β，则
8.已知?ABC是边长为23的正三角形，EF为?ABC的外接圆O的一条直径，M为?ABC的边上的动点，则
A.5 B.4 C.3 D.2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是(????)
A.若z为纯虚数，则z2是实数
B.若i为虚数单位，则i23=i
C.复数?2?i在复平面内对应的点位于第三象限
10.已知平面向量a=(3,4),b=(7,1)，则下列结论正确的是
A.a+b=(10,5) B.b=10a
C.a⊥(a
11.已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，E为线段A
A.μ=12时，A1P⊥ED1
B.λ=14时，B1P+PD的最小值为132
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正方体ABCD?A1B1C1D1中，直线
13.若圆锥的表面积为16π，且其母线长是底面半径的3倍，则圆锥的体积为??????????．
14.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为8cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最小值为__??????????___cm．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a与b的夹角为π4，且a
(1)求a?
(2)求a?
(3)求向量a?b与向量a
16.(本小题15分
如图，已知四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证：
(1)MN//平面PCD；
(2)平面MNQ//平面PBC.
17.(本小题15分
如图，在?ABC中，∠B=30°,D
(1)求AB的长；
(2)求sin∠DAB
(3)若?ABC的面积为532，求?
18.(本小题17分
如图，在多面体ABCED中，?ABC为等边三角形，AD//CE,AC⊥CE,AC=CE=2AD=2.点F为BC
(1)求证：AF⊥平面BCE
(2)设点G为BE上一点，且BG=23BE，求二面角
19.(本小题17分)
如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，AD=23，CD=2，AB=4，F为BC的中点，点
(1)用AB与AD表示AF；
(2)求AE?
(3)若点G为?AEF的重心，是否存在λ，使得A，C，G三点共线？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C?
2.C?
3.C?
4.A?
5.A?
6.B?
7.D?
8.C?
9.AC?
10.ACD?
11.ABC?
12.60°
13.16
14.4
15.解：(1)因为向量a与b的夹角为π4，且a
则a?
(2)因为向量a与b的夹角为π4，且a=2,b
可得a?
(3)设向量a?b与向量a的夹角为
可得cosθ=
因为θ∈[0,π]，可得θ=π4，所以向量a
?
16.证明：(1)由题意，四棱锥P?ABCD的底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点，∴N是AC的中点，∴MN//PC，
∵PC?平面PCD，MN?平面PCD，
∴MN//平面PCD；
(2)由(1)知MN/?/PC，PC?平面PBC，MN?平面PBC，
∴MN//平面PBC，