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2024-2025学年广东省和美联盟高一下学期5月联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列向量中与a=(2,?3)共线的是
A.(2,3) B.(3,?2) C.(4,?
2.设i是虚数单位，则复数i?12+i在复平面内所对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设e2、e2是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是(????)
A.e1和e1+2e2 B.e1+2e2与3e
4.如图，?A′B′C′是?ABC的斜二测直观图，其中?A′B
A.3 B.23 C.2
5.如图，在△ABC中，AN=12NC，P是线段BN上的一点，若AP=mAB+1
A.?25 B.?12 C.
6.已知向量b=(1,2)，向量a在b方向上的投影向量为?12b，则
A.?12 B.12 C.?
7.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东35°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东65°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东70°，那么B，C两点间的距离是
A.105海里 B.203海里 C.10
8.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点(如图2)，若P为BC?的中点，则PO?PA+PB
A.6 B.8 C.10 D.12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是(????)
A.圆锥被一个平行于底面的平面截去顶部的小圆锥后，剩余部分是圆台
B.有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
C.圆柱的母线与它的轴可以不平行
D.一个多面体至少有4个侧面
10.已知函数f(x)=2sin3x?π6
A.fx?2π3=f(x)
B.函数f(x)的图象关于点π18,0中心对称
C.将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，可得到g
11.已知复数z=x+yi，其中x，y∈R，i为虚数单位，在复平面内z对应的点为Z，则下列说法正确的是(????)
A.当x=0时，z为纯虚数
B.满足|z|=2的点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆
C.z的虚部为yi
D.若b，c∈R且复数3+2i是方程x2+bx+c=0的一个根，则方程x
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若α∈0,π4，sinα+π
13.在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，连接A1B、A1C与B1C，记三棱锥
14.已知向量a，b夹角为π3，b=2，若对任意x∈R，恒有b+xa≥
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知AB=(1,3)，BC=(3,m)，CD=(?1,n)
(1)求实数n的值；
(2)若AC⊥BD，求实数m
16.(本小题15分)
如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD=1，AD=3，以
??
(1)求该几何体的表面积；
(2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离．
17.(本小题15分
在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a
(1)求角B的大小；
(2)若b=23，?ABC的面积为2
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2cos
(1)求函数f(x)的周期；
(2)求f(x)在?π
(3)若对x∈R，不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立，试求m
19.(本小题17分
在?ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b
(1)求A；
(2)若b=1,c=3,D为线段BC内一点，且BD:DC=1:
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的x1,x2,y1,y2∈R
参考答案
1.C?
2.B?
3.C?
4.D?
5.D?
6.C?
7.C?
8.B?
9.BCD?
10.ABC?
11.BD?
12.7
13.9?
14.3
15.解：因为AB=(1,3)，BC=(3,m)，
所以AD=
(1)因为AD//BC.所以AD=λBC
(2)因为AC=AB+
又AC⊥
所以AC?
即8+(3+m)(m?3)=0，解得m=±
16.(1)如图