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2024-2025学年广东省广州市禺山高级中学高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P={x|1x4}，Q={x|2x3}，则P∩Q=
A.{x|1x≤2} B.{x|2x3} C.{x|3≤x4} D.{x|1x4}
2.计算：sin315°的值为(????)
A.22 B.?22
3.已知AB=(2,4)，AC=(1,3)，则|BC
A.1 B.2 C.2 D.
4.已知函数f(x)=4x2?mx+5在区间[?2,+∞)上是增函数，在区间(?∞,?2]上是减函数，则f(1)等于
A.?7 B.1 C.17 D.25
5.在△ABC中，点D满足BC=3BD，则(????)
A.AD=13AB+23AC
6.若△ABC的面积为3，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于(????)
A.2 B.3 C.2
7.如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则(????)
A.AB//MQ
B.AB//NQ
C.AB⊥MN
D.AB//平面MNQ
8.已知O是△ABC所在平面内一定点，动点P满足OP=OA+λ(AB|AB|cosB+AC|
A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数z满足z(4+3i)=2?i(其中i是虚数单位)，则下列说法正确的是(????)
A.z的虚部为?25i B.z在复平面内对应的点位于第四象限
C.z+
10.已知函数f(x)=x+1x，则下列结论中正确的是(????)
A.f(x)最小值是2 B.f(x)是奇函数
C.f(x)在(0,1)上单调递减 D.f(x)在(1,+∞)上单调递增
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=2，B=π3，则(????)
A.△ABC面积的最大值为3 B.△ABC周长的最大值为6
C.a2+c2的取值范围为(4,8]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，A′O′=6，B′O′=2，则△OAB的面积是______．
13.已知平面向量a=(0,1)，b=(?1,?2)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为______．
14.一个圆锥母线长为6，侧面积32
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a=(2,2)，b=(x,?1)．
(Ⅰ)若a/?/b，求x；
(Ⅱ)若a⊥(a
16.(本小题15分)
在△ABC中，b2+c2?62bc=a2．
(Ⅰ)求cosA的值；
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acos?B．
(Ⅰ)证明：A=2B；
(Ⅱ)若cos?B=23，求
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，CD=2AB，AB⊥AD，E，F分别是CD和PC的中点
(1)证明：AB⊥PD；
(2)证明：平面BEF//平面PAD
19.(本小题17分)
双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).其中双曲正弦函数：sin?(x)=ex?e?x2，双曲余弦函数；cos?(x)=ex+e?x2(e是自然对数的底数，c=2.71828…)．
(1)求cos?2(x)?sin?2(x)
参考答案
1.B?
2.B?
3.C?
4.D?
5.C?
6.C?
7.C?
8.B?
9.BC?
10.BCD?
11.ABC?
12.12?
13.(2
14.4
15.解：(Ⅰ)平面向量a=(2,2)，b=(x,?1)
若a//b，则2×(?1)?2x=0，
解得x=?1；
(Ⅱ)若a⊥(a?2b)，则a?(a?2b)=a2?2a?b
16.解：(Ⅰ)∵在△ABC中，b2+c2=a2+62bc，
由余弦定理cosA=b2+c2?a22bc，
∴cosA=62bc2bc=6
17.解：(Ⅰ)证明：∵b+c=2acosB，
∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB=sinAcosB?cosAsinB=sin(A?B)，
由A，B∈(0,π)，
∴0A?Bπ，
∴B=A?B，或B=π?(A