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2024-2025学年北京市东城区第二中学朝阳学校高一下学期期中考试数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.在复平面内，复数z=i1?i(i为虚数单位)对应的点所在的象限是
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.向量a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a,b=(????)
A.45° B.60° C.
3.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(????)
A.若n?α，n//β，则α//β B.若m//n，n//α，则m//α
C.若α⊥β，β⊥γ，则α//γ D.若m⊥α，m?β，则α⊥β
4.?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosA=bcosB，则?ABC为(
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
5.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为(????)
A.33π B.π C.
6.设α，β是两个平面，m，n是两条直线，若m?α，n?α，则“α/?/β”是“m//β，n//β”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设AB=a，AD=b，则BN=
A.?23a+13b B.
8.已知OA=OB=1，OC=2，OA+OB+OC=
A.240° B.225° C.135° D.90°
9.如图，三棱锥P?ABC中，?PAB,??PBC均为正三角形，?ABC为直角三角形，斜边为AC，M为PB的中点，则直线AM,?PC所成角的余弦值为(????)
A.?36 B.36
10.如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是(????)
A.16,56 B.13,
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
11.已知向量a，b的夹角为45°，且a=1，b=2，则a+2
12.若复数z满足：z+2i2+i=3?i，其中i为虚数单位，则z=??????????
13.已知一个正方体的8个顶点都在一个球面上，则球的表面积与这个正方体的全面积之比为??????????．
14.如图所示，已知三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1
15.如图所示，在四边形ABCD中，已知AB=2，CD与以AB为直径的半圆O相切于点D，且BC//AD，若AC?BD=?1，则BD=??????????；此时AD?OD=
16.如图，在单位正方体ABCD?A1B1C1
①异面直线PC1与直线
②二面角P?BC
③若Q是对角线AC1上一点，则PQ+QC长度的最小值为
④若R是线段BD上一动点，则直线PR与直线A1
其中真命题有_____．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知复数z=a+ia∈R,i
(1)若z=1，求a
(2)若z1+i为实数，求a
(3)若z1=z1?2i,
18.已知向量OA=2,1，OB=3,?2
(1)若点A，B，C共线，求实数m的值；
(2)若△ABC为直角三角形，求实数m的值．
19.在?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin2
(1)求cosA
(2)若cosB=33，?ABC的周长为2+2
20.如图，已知平面PAB⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AB，点E，F分别是BC，PB的中点．
(1)若点M为线段AD中点，求证：PM//平面AEF；
(2)求证：AF⊥平面PBC；
(3)若AB=1，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥P?ABCD存在，求二面角P?DC?A的余弦值．
条件①：PA⊥DC；
条件②：PC⊥BC；
条件③：PB=AB；
注：如果选择条件不能使四棱锥P?ABCD存在得零分．
21.对于三维向量ak=xk,yk,zkxk,yk,
(1)若a0=(3,1,2)，求a2
(2)证明：对于任意a0，经过若干次F变换后，必存在K∈N?
(3)已知a1=p,2,qq≥p，a1=2024，将a1再经过m次F
参考答案
1.B?
2.D?
3.D?
4.B?
5.A?
6.A?
7.A?
8.C?
9.B?
10.A?
11.13
12.10
13.π2
14.3
15.1；3
16.①②③?
17.(1)因为z=a
(2)因为z1+i
所以1?a2=0，解得
(3)因为z1=z1?2i
所