专题55正态分布
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
一、正态曲线
1．正态曲线的定义
(x??)2
1?2
函数?(x)e2?,x?(??,??)，其中实数μ和σ(σ0)为参数，称?(x)的图象为正态分布
?,?2???,?
密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)．
2．正态曲线的特点
①曲线位于轴上方，与x轴不相交；
x
②曲线是单峰的，关于直线x?对称；
1
③曲线在x?处达到峰值；
?2?
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
?
???
⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越瘦高，表示总体的分布越集中；越大，曲线
μ“”
越矮胖，表示总体的分布越分散．
“”
二、正态分布
1．正态分布的定义及表示
b
如果对于任何实数a,ba?b，随机变量X满足Pa?X?b?xdx(即xa，xb，正态曲线
?????a?,???
2
及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，记作X~N(?,?)．
2．正态分布的三个常用数据
①P(????X????)0.6826；
②P(??2??X???2?)0.9544；
③P(??3??X???3?)0.9974.
2
【注】若X~N(?,?)，则P(X??)0.5.
考向一正态分布
关于正态分布在某个区间内取值的概率的求法：
(1)熟记P(????X????)，P(??2??X???2?)，P(??3??X???3?)的值．
(2)正态曲线关于直线x?对称，从而在关于x?对称的区间上的概率相同．
(3)PX?a1?P(X?a),P(X???a)P(X???a).
??
2
(4)若X服从正态分布，即X～N(?,?)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.
典例1已知随机变量服从正态分布N1,1，若P???10.9772，则P?1???3
???????
A．0.6827B．0.8522
C．0.9544