专题42曲线与方程
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
一、曲线与方程的概念
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二
C
元方程f(x,y)0的实数解建立了如下的关系：
（）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
1
（）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
2
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
二、坐标法（直接法）求曲线方程的步骤
求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
（）建立适当的坐标系，用有序实数对，表示曲线上任意一点的坐标；
1(xy)M
（2）写出适合条件p的点M的集合P{M|p(M)}；
（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)0；
（4）化方程f(x,y)0为最简形式；
（）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
5
一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲
线上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出
曲线方程．
三、两曲线的交点
（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成
的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有
交点．
（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就
是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.
考向一考查曲线与方程的概念
判断曲线与方程的关系时，把握两个对应关系：
（）曲线上的每个点都符合某种条件；
1
（）每个符合条件的点都在这条曲线上若要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足
2.
方程.
22
典例1方程(2)+?9＝0表示的曲线是
A．一个圆和一条直线B．半个圆和一条直线
C．一个圆和两条射线D．一个圆和一条线段
【答案】C
+?2=0
【解析】22可变形为22或，
(2)+?9＝0+?9＝022
+?9≥0
22
故表示以原点为圆心，为半径的圆和直线＋－＝在圆＋－＝外面的两条射线
3xy20xy90.
典例2方程y-4?对应的曲线是
【答案】A
【解析】将2平方得22，它表示的曲线是圆心在原点，半径为的圆的下半部分，
y-4?x+y4(y≤0)2
故选A.
Px,yx
1．设，且是和的等比中项，则动点的轨迹为除去轴上点的
x,y?R2y1?x1?x??
A．一条直线B