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第09讲双曲线方程及其性质（核心考点精讲精练）
知识讲解
双曲线的定义
数学表达式：
双曲线的标准方程
焦点在轴上的标准方程焦点在轴上的标准方程
标准方程为：标准方程为：
双曲线中，，的基本关系
双曲线的几何性质
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点坐标
，
，
，
，
实轴
实轴长，实半轴长
虚轴
虚轴长，虚半轴长
焦点
，
，
焦距
焦距，半焦距
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为
渐近线方程
离心率
离心率对双曲线的影响
越大，双曲线开口越阔
越小，双曲线开口越窄
离心率与渐近线夹角的关系
通径：（同椭圆）
通径长：，
半通径长：
双曲线的焦点到渐近线的距离为
考点一、双曲线的定义及其应用
1.－＝4表示的曲线方程为（????）
A．－＝1(x≤－2)B．－＝1(x≥2)C．－＝1(y≤－2)D．－＝1(y≥2)
【答案】C
【分析】根据两点间距离的定义及双曲线定义，可判断双曲线的长轴长与焦距，进而求得b，得双曲线方程；结合方程的意义，即可判断出y的取值范围．
【详解】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合.根据双曲线定义可知，所以??
由焦点在y轴上，所以，且到点的距离比较大，所以，即曲线方程为故选：C.
2.已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（????）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据切线长相等的关系求得，利用双曲线定义求解.
【详解】如图，，，，所以.根据双曲线定义，
所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（除去右顶点），方程为.
故选:C.
1.在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（????）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．
【详解】解：如图设与圆的切点分别为、、，则有，，，
所以．根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即、，又，所以，所以方程为．故选：A．
2.若动圆过定点且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是.
【答案】
【解析】设动圆的半径为，则有，再由两圆外切得到，进而得到，再利用双曲线的定义求解.
【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称，设动圆的半径为，则有，因为两圆外切，所以，即，所以点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，
则，，，所以轨迹方程为
故答案为：
考点二、双曲线的标准方程
1.双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（????）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，
??
因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以.
设,则，所以，所以.因为,所以，所以，所以，所以，因为，
所以，所以，解得，
所以双曲线的方程为故选：D
2.已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（????）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.故选：C.
1.设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足，，则双曲线的方程为（????）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的半径得出，根据中位线定理和勾股定理计算，从而得出，即可得出双曲线的方程．
【详解】∵为圆上的点，，，∴是的中点，
又是的中点，，且，又，，
是圆的切线，，又，，
，∴双曲线方程为．
????
故选：D
2.设O为坐标原点，，是双曲线C：的左、右焦点，过作圆O：的一条切线，切点为T．线