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第08讲椭圆方程及其性质（核心考点精讲精练）
知识讲解
椭圆的定义
数学表达式
椭圆的标准方程
焦点在轴上的标准方程
椭圆标准方程为：
焦点在轴上的标准方程
椭圆标准方程为：
椭圆中，，的基本关系
椭圆的几何性质
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点坐标
，，
，，
长轴
长轴长，长半轴长
短轴
短轴长，短半轴长
焦点
，
，
焦距
焦距，半焦距
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为
离心率
离心率对椭圆的影响
越大，椭圆越扁越小，椭圆越圆，圆
通径
（过椭圆焦点与坐标轴垂直的直线截得的弦长）
通径长：，
半通径长：
椭圆中的两个周长问题
考点一、椭圆的定义及其应用
1.方程的化简结果是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由方程的几何意义及椭圆定义得出结果即可.
【详解】方程的几何意义为动点到定点和的距离和为10，并且，所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为的椭圆，所以，，根据，所以椭圆方程为.
故选：C.
2.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（????）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆定义得，再利用基本不等式求解最值即可.
【详解】因为点P是椭圆上的动点，，，所以，
所以，当且仅当即时，等号成立.故选：A.
1.已知的两个顶点分别为的周长为18，则点的轨迹方程为（????）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据，利用椭圆的定义得到点的轨迹是以为焦点的椭圆求解.
【详解】由题意得，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，设其标准方程为，则，从而．又三点不共线，∴点不在轴上，
点的轨迹方程为．故选：A．
2.已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（????）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径，消去，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心的轨迹，进一步求出其方程.
【详解】设动圆的圆心，半径为，圆与圆:内切，与C2：外切.所以.由椭圆的定义，的轨迹是以为焦点，长轴为16的椭圆.则，所以动圆的圆心的轨迹方程为：故选：D
考点二、椭圆的标准方程
1.已知椭圆的左?右焦点分别是，是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的长轴长是（????）
A．B．4C．D．8
【答案】C
【分析】根据题意得到，得到，即，求得，进而求得椭圆的长轴长.
【详解】由椭圆，可得，因为是椭圆短轴的一个端点，且，可得，即，可得，即，解得，
所以，故椭圆的长轴长是.故选：C.
??
2.已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（????）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直线的方程，由点到直线的距离可得，再由的周长为16可得，解方程可求出，即可得出答案.
【详解】由题意，得，，，则直线的方程为，
所以点A到直线的距离①．由的周长为16，
得，即a+c=8②，联立①②，解得③．
因为，所以④．联立②④，解得a=6，c=2，所以，
故椭圆E的标准方程为是.
故选：B．
1.已知椭圆E：的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为，则椭圆E的方程为（????）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由条件列关于的方程，解方程可得，由此可得椭圆方程.
【详解】设，由对称性可得，则，所以两式相减可得，因为直线AB与AD的斜率之积为，所以，即，所以，设椭圆的半焦距为，因为椭圆的焦距为4，所以，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为，故选：A.
??
2.已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【答案】（1）；（2）详见解析.
【分析】（1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.
（2）方法一：设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已