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平面向量与解三角形（模拟测试）
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在中，若，则一定是（????）
A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【分析】由余弦定理化简计算即可.
【详解】由及余弦定理得：，即.
故选：D
2．已知向量，，且，则（????）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根据，两边平方后可得，求出的值，进而求出
【详解】，两边平方得，展开整理得.,解得.故选：C
3．如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（????）
??
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据平行向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.
【详解】因为，，所以，
因为为的中点，所以，
4．在中，，，分别为角，，的对边，已知，，且，则（????）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，由面积公式求出，再由余弦定理求出，即可得解.
【详解】，由正弦定理可得，
整理可得，
所以，
为三角形内角，，∴，∵，，则，故B错误；
∵，，，解得，
由余弦定理得，
解得或（舍去），故C正确，D错误.
又，所以，则三角形为等边三角形，
所以，则，故A错误.故选：C.
5．如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（????）
????
A．B．3C．D．48
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设，，（），即可得到、，根据数量积的坐标表示得到，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则、、、，
设，，（），则，所以，所以，
即，所以，，所以
，又，所以当时取得最小值为.
??
故选：A
6．已知中，角对应的边分别为，是上的三等分点（靠近点）且，，则的最大值是（????）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】先利用正弦定理的边角变换与余弦定理可求得，再设，利用正弦定理与正弦函数的和差角公式得到，从而得解.
【详解】因为，由正弦定理得，则，即，所以，，则，
??
设，则，且，在中，，则，
在中，，则，又，
即，又由正弦定理知（为的外接圆半径），
所以，
则，即，又，故当，时，.故选：A
7．中，三边之比，则（????）
A．B．4C．D．
【答案】C
【分析】首先由结合余弦定理得出，然后根据二倍角公式和正弦定理即可得出结果.
【详解】因为，不妨设，则，由正弦定理可得
.故选：C.
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC的面积是（????）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由正弦定理及诱导公式结合可得.
由，结合可得，.后由∠MAB＝∠MBA，结合正弦定理，可得，即可得面积
【详解】由正弦定理及诱导公式，可得：
，
化简得：，又，则.
又，则，.因，则，，
则在MAC中，，解之：.
则，则MAC中，边对应高，
则MAC面积．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9．已知向量，，，满足，且，，则与的夹角为．
【答案】或.
【分析】根据给定条件，求出向量，的夹角，借助几何图形求出垂直于向量的向量与的夹角，再结合共线向量求解作答.
【详解】依题意，，，则，而，于是，
作向量，有，是边长为1的正三角形，如图，
取的中点，连接，则，且，而，因此，则与共线，所以向量与的夹角为或.故答案为：或
10．已知中，，则．
??
【答案】/0.6
【分析】由以为基底表示，结合，，可得,后即可得答案.
【详解】由图可得，因，则
，则，
因，则，，代入上式有：
，.则.
故答案为：
11．在中，，D为BC边上一点，且，则的最小值为.
【答案】
【分析】将用表示，再平方可求得，再由结合二