第
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第04讲解三角形中的相关定理公式综合
（高阶拓展）（核心考点精讲精练）
知识讲解
1.海伦-秦九韶公式
三角形的三边分别是a、b、c，
则三角形的面积为其中，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:
2.三倍角公式
，
3.射影定理
，，
4.角平分线定理
（1）在中，为的角平分线，则有
（2）
（3）（库斯顿定理）
（4）
5.张角定理
6.倍角定理
在中,三个内角的对边分别为,
(1)如果,则有:
(2)如果,则有:
(3)如果,则有:
倍角定理的逆运用
在中,三个内角A、B、C的对边分别为,
(1)如果,则有:。
(2)如果,则有:。
(3)如果,则有:。
7.中线长定理
为的中线,则中线定理:
证明:
在和中,用余弦定理有:
8.三角恒等式
在中，
①；
②；
③；
④；
考点一、海伦-秦九韶公式及其应用
1．若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“海伦-秦九韶公式”若的三边长分别为5，6，7，则该三角形的面积为．
【答案】．
【分析】将三边长分别代入公式即可求解.
【详解】解：由题意得
故答案为：
2.三角形的三边分别为a，b，c，秦九韶公式和海伦公式，其中，是等价的，都是用来求三角形的面积．印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为a，b，c，d，则，其中，为一组对角和的一半.已知四边形四条边长分别为3，4，5，6，则四边形最大面积为（）
A．21B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，由已知可推出，即可得出答案．
【详解】∵a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，∴，又易知，，
则，
当，即时，有最大值为.故选：D．
1．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式，设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公式表示为.在中，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（????）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据若，，得到ac和，代入求解即可.
【详解】解：因为，所以，即，又，所以，
所以，故选：C
2．南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（????）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由公式列出面积的表达式，代入，然后利用基本不等式可求得结果
【详解】由题意得，
则，
当且仅当，即时取等号，所以三角形面积的最大值为.故选:B
考点二、三倍角公式及其应用
1．已知的内角，，的对边分别为，，．若，且为锐角，则的最小值为（????）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将式子中的边b、c都转化为角的关系，即变为，由于，利用均值不等式便可求得其最小值.
【详解】
，
即，．为锐角，则
当且仅当，即时，等号成立，的最小值为．故选：A
1.已知的内角的对边分别为,若,则的最小值为
A.-1B.C.3D.
解析:因为,所以由正弦定理,得
因为,所以,所以,所以,
当且仅当时,即时等号成立,所以的最小值为3.故选:C.
考点三、射影定理及其应用
1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则．
【答案】
【分析】由正弦定理得到，求出正弦，利用二倍角公式求出答案.
【详解】，由正弦定理得，
因为，所以，故，由于，故，
则.故答案为：
1．已知在中，角的对边分别为，且满足，，则的面积为.
【答案】
【分析】根据正弦定理以及同角关系可得，进而根据余弦定理即可得的值，由面积公式即可求解.
【详解】因为，由正弦定理得，即，得，又，所以.
因为，所以由余弦定理可得，即，所以故的面积为.故答案为：
考点四、角平分线定理及其应用
1.在中，角A的角平分线交于点D，且，则等于（????）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则即可求解.
【详解】因为是的角平分线，所以，所以由正弦定