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第03讲解三角形中的最值及范围问题
（核心考点精讲精练）
知识讲解
解三角形最值及范围问题中常用到的关联知识点
1.基本不等式
，当且仅当时取等号，其中叫做正数，的算术平均数，
叫做正数，的几何平均数，通常表达为：（积定和最小），应用条件：“一正，二定，三相等”
基本不等式的推论
重要不等式
（和定积最大）
当且仅当时取等号
当且仅当时取等号
2.辅助角公式及三角函数值域
形如，，其中，
对于，类函数，叫做振幅，决定函数的值域，值域为，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围
3.三角形中的边角关系
（1）构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
（2）在三角形中，大边对大角，小边对小角
（3）在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系:
即
注意：在锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。
事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。
考点一、面积类最值及范围问题
【例题1】在平面四边形中，，，，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围.
【练习1】在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)求的取值范围；
(2)若是边上的一点，且，，求面积的最大值．
考点二、周长类最值及范围问题
【例题2】在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的周长的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
【练习2】记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若为锐角三角形，，求周长范围．
考点三、边长和差类最值及范围问题
【例题3】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)设BC的中点为D，且，求的取值范围．
【练习3】已知在中，内角，，所对的边分别为，，，．
(1)若，求出的值；
(2)若为锐角三角形，，求边长的取值范围．
考点四、边长积商类最值及范围问题
【例题4】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线BD交AC于点．
(1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求的大小．
①；②；③．
(2)若，求的取值范围．
【练习4】已知，，其中，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.
.
考点五、中线及高线类最值及范围问题
【例题5】已知的内角，，的对边分别为，，．若．
(1)求角；
(2)若，求边上的高的取值范围．
【练习5】在锐角中，设边所对的角分别为，且．
(1)求角的取值范围；
(2)若，求中边上的高的取值范围．
考点六、外接圆及内切圆半径类最值及范围问题
【例题6】在中，角的对边分别为，已知，且.
(1)求的外接圆半径；
(2)求内切圆半径的取值范围.
【练习6】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
第03讲解三角形中的最值及范围问题随堂检测
1.已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且．
(1)求角的值；
(2)求面积的取值范围．
2.的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
3.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
4.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A的值；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．