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第03讲解三角形中的最值及范围问题
（核心考点精讲精练）
知识讲解
解三角形最值及范围问题中常用到的关联知识点
1.基本不等式
，当且仅当时取等号，其中叫做正数，的算术平均数，
叫做正数，的几何平均数，通常表达为：（积定和最小），应用条件：“一正，二定，三相等”
基本不等式的推论
重要不等式
（和定积最大）
当且仅当时取等号
当且仅当时取等号
2.辅助角公式及三角函数值域
形如，，其中，
对于，类函数，叫做振幅，决定函数的值域，值域为，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围
3.三角形中的边角关系
（1）构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
（2）在三角形中，大边对大角，小边对小角
（3）在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系:
即
注意：在锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。
事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。
考点一、面积类最值及范围问题
【例题1】在平面四边形中，，，，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）在中，由正弦定理可得，从而求得.
（2）解法一：由（1）求得，
，从而，再利用，即可求得面积的取值范围；解法二：作于，作于，交于，求得，，，分别求出，，利用即可求得范围.
【详解】（1）在中，由正弦定理可得，所以，
又，所以.
（2）解法一：由（1）可知，，
因为为锐角，所以，
所以，
在中，由正弦定理得，所以，
，
因为，且为锐角三角形，
所以，所以，
所以
，所以，所以，即，
所以的面积的取值范围为.
??
解法二：由（1）可知，，因为为锐角，
所以，，如图，作于，作于，交于，
??
所以，，所以，
又，所以.由图可知，仅当在线段上（不含端点）时，为锐角三角形，所以，即.
所以面积的取值范围为.
【练习1】在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)求的取值范围；
(2)若是边上的一点，且，，求面积的最大值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用正余弦定理对已知等式化简可得，则可求出角，再利用三角函数恒等变换公式可得，然后求出角的范围，再利用余弦函数的性质可得结果；
（2）根据题意可得，两边平方化简后再利用基本不等式可求出的最大值，从而可求出面积的最大值．
【详解】（1）因为，故，整理得到：
即，故，而为三角形内角，故，
所以，故，而为锐角三角形内角，故.
，
因为三角形为锐角三角形，故，故，
故，故，故.
（2）由题设可得，故，整理得到：，
故，即，
整理得到：，
考点二、周长类最值及范围问题
【例题2】在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的周长的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将表示为角的形式，结合三角恒等变换以及三角函数的值域等知识确定正确答案.
【详解】，
由正弦定理得，，由于，
所以，所以，
由于，所以，所以，所以，
则，函数的开口向上，对称轴为，
所以.故选：A
【练习2】记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若为锐角三角形，，求周长范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）应用正弦定理及余弦定理解三角形即可；
（2）先应用正弦定理用角表示边长，再根据锐角三角形求角的范围，最后求三角函数的值域即得.
【详解】（1）在中，由射影定理得，则题述条件化简为，
由余弦定理得．可得?所以.
（2）在中，由正弦定理得，
则周长，
因为，则，
因为为锐角三角形，，则得，
故．
考点三、边长和差类最值及范围问题
【例题3】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)设BC的中点为D，且，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）已知等式，由正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求角C；
（2）设，由正弦定理，把表示成的三角函数，利用三角函数的性质求取值范围.
【详解】（1）中，，由正弦定理得．
所以，
即，
所以；又，则，所以，
则有，又因为，则，即；
（2）设，则中，由可知，
由正弦定理及可得，所以，，
所以，
由可知，，，所以．
即的取值范围.
【练习3】已知在中，内角，，所对的边分别为，，，．
(1)若，求出的值；
(2)若为锐角三角形，，求边长的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由立方差公式及余弦定理求出，由将弦化切，利用两角和的正弦公式求出，从而求出，最后根据两角差的余弦公式计算可得；
（2）由正弦定理得到，再转化为角的三角函数，结合正切函数的性质求出的取值范围.
【详解】（1）因为由正弦定理可