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第02讲三角函数的图象与性质
（核心考点精讲精练）
知识讲解
三角函数的图象与性质
图象
定义域
值域
最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
2.三角函数型函数的图象和性质
正弦型函数、余弦型函数性质
，
振幅，决定函数的值域，值域为
决定函数的周期，
叫做相位，其中叫做初相
正切型函数性质
的周期公式为：
会用五代作图法及整体代换思想解决三角函数型函数的图象及性质
考点一、正弦（型）函数的图象及性质
【例题1-1】关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数????????②f(x)在区间（,）单调递增③f(x)在有4个零点????④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【分析】化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④????正确，故选C．
【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．
【例题1-2】已知函数（为常数，）在处取得最小值，则函数是（????）
A．奇函数且它的图象关于点对称 B．奇函数且它的图象关于点对称
C．偶函数且它的图象关于点对称 D．偶函数且它的图象关于点对称
【答案】A
【分析】由题意先求出的最简形式，即可得到函数，再根据三角函数性质对选项逐一判断
【详解】，其中，
若在处取得最小值，则，所以即，
所以，
所以，
可得函数是奇函数，且图象关于点对称．故选：A
【练习1】（多选）已知函数的初相为，则下列结论正确的是（????）
A．的图象关于直线对称
B．函数的一个单调递减区间为
C．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数
D．若函数在区间上的值域为
【答案】AB
【分析】根据已知条件求出函数的解析式，然后计算的值即可判断A项；利用整体思想及正弦函数的单调性求函数的单调递减区间即可判断B项；由三角函数图象的平移变换法求出函数的解析式即可判断C项；由x范围求得的范围，进而求得在区间上的值域即可判断D项．
【详解】由题意知，所以．
对于选项A，，所以的图象关于直线对称，故A项正确；
对于选项B，由，，得，，
则当时，函数的一个单调递减区间为，故B项正确；
对于选项C，的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
所以为奇函数，故C项错误；
对于选项D，因为，所以，所以，所以，
即：在区间上的值域为，故D项错误．故选：AB.
考点二、余弦函数（型）的图象及性质
【例题2】已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（????）
A．的最小正周期为
B．
C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数
D．函数在上有且仅有一个零点
【答案】ACD
【分析】根据函数的单调性和对称性列式求出，再根据最小正周期公式可判断A；根据解析式计算可判断B；利用图象变换和余弦函数的奇偶性可判断C，利用余弦函数的图象可判断D.
【详解】因为函数在上单调，所以的最小正周期满足，即，所以.因为的图象关于点对称，所以，，得，，由，得，因为，所以，.
所以.对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，，，
所以，故B不正确；对于C，将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为为偶函数，故C正确；对于D，，令，得，令，由，得，作出函数与直线的图象如图：
??由图可知，函数与直线的图象有且只有一个交点，所以函数在上有且仅有一个零点，故D正确.故选：ACD
【练习2-1】已知函数，则
A．的最小正周期为，最大值为B．的最小正周期为，最大值为
C．的最小正周期为，最大值为D．的最小正周期为，最大值为
【答案】B
【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】根据题意有，所以函数的最小正周期为，
且最大值为，故选B.
考点三、求三角函数图象的解析式
【例题3】（多选）已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，则关于函数下列结论正确的是（??）
??
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
【答案】AC
【分析】根据函数图象，求解参数