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2024-2025学年山东省青岛二中分校高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=(3+i)(1?i)，i为虚数单位，则复数z的虚部为(????)
A.2i B.?2i C.2 D.?2
2.已知m，n为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，则(????)
A.若m//α，m//β，则α//β B.若m//α，n//α，则m//n
C.若m⊥α，m⊥β，则α/?β D.若m⊥α，n⊥α，则m⊥n
3.已知向量a、b满足|a|=1，|b|=23，b?(2a
A.π6 B.π3 C.2π3
4.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得∠OBA=105°，∠OAB=45°，AB=45m，在点B处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为(????)
A.156m B.1522
5.已知e1，e2是平面内的一组基底，OA=4e1+3e2，OB=2e1+ke2
A.9 B.13 C.15 D.18
6.已知圆锥SO的轴截面是三角形SAB，如图，△S′A′B′是水平放置的三角形SAB的直观图，若S′O′平行于y′轴，且2A′O′=O′S′=2，则圆锥SO的侧面积为(????)
A.25π
B.17π
7.在三棱锥P?ABC中，PA=PB=PC=3,PA,PB,PC两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为
A.3π2 B.9π2 C.15π2
8.在直角梯形ABCD中，已知AB//CD，∠DAB=90°，AB=2AD=2CD=2，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点.则EA?EF的取值范围是(????)
A.[?116
B.[0,1
C.[1
D.[?
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=a2?1+(a+1)i，a∈R，则下列结论正确的是
A.若z为纯虚数，则a=±1
B.若z在复平面内对应的点位于第四象限，则a∈(?∞,?1)
C.若a=0，则z?=?1?i
D.若a=0
10.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,0φπ2)的部分图象如图所示，则(????)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图像可由y=2sin2x的图象向左平移π6个单位得到
C.f(x)的对称轴为x=5π12+kπ(k∈Z)
D.f(x)
11.如图，在单位正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P
A.在点P运动过程中，直线A1P与BC1始终为异面直线
B.三棱锥D?BPC1的体积为定值
C.异面直线C1P与直线CB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.22cos15°+
13.已知向量a=(1,2)，b=(1,x)，若(2a?b)//
14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，B=π3，且b=3，则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知2?i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，其中i为虚数单位．
(1)求m+2n的值；
(2)记复数z=m+ni，求复数
16.(本小题15分)
如图所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．
(1)求证：BC//GH；
(2)若E，
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos
(1)求B的大小；
(2)若c=3，a+b=2，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
已知向量m=(1,1)，向量n与向量m的夹角为3π4，且m?n=?1．
(1)求向量n；
(2)设向量a=(1,0)，向量b=(cosx,cos
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B+cos2C?cos2A=1．
(1)求角A；
(2)若bc=6，设点P为△ABC的费