第PAGE1页/共NUMPAGES1页
2024北京重点校高二（下）期末数学汇编
数列的概念
一、单选题
1．（2024北京石景山高二下期末）数列的通项公式为（），前n项和为，给出下列三个结论：
①存在正整数，使得；
②存在正整数，使得；
③记，则数列有最大项和最小项.
其中正确结论的个数是（）
A． B． C． D．
2．（2024北京石景山高二下期末）在数列中，，（），则的值为（）
A．?2 B． C． D．
3．（2024北京昌平高二下期末）已知数列的前项和，则（????）
A．1 B．2 C．4 D．6
4．（2024北京延庆高二下期末）已知数列满足，则数列的前4项和等于（????）
A．16 B．24 C．30 D．62
二、填空题
5．（2024北京海淀高二下期末）已知数列的前项和为，满足，当时，．给出下列四个结论:①当时，；
②当时，；
③当时，恒成立；
④当时，从第三项起为递增数列．
其中所有正确结论的序号为．
6．（2024北京房山高二下期末）设无穷数列的通项公式为.若是单调递减数列，则的一个取值为.
7．（2024北京西城高二下期末）设数列的前n项和为，若，，且．则；使得成立的n的最小值为．
三、解答题
8．（2024北京海淀高二下期末）已知数列满足，集合．设中有个元素，从小到大排列依次为
(1)若，请直接写出；
(2)若，求；
(3)若，求的最小值
9．（2024北京东城高二下期末）已知项数列，满足对任意的有.变换满足对任意，有，且对有，称数列是数列的一个排列.对任意，记，，如果是满足的最小正整数，则称数列存在阶逆序排列，称是的阶逆序变换.
(1)已知数列，数列，求，；
(2)证明：对于项数列，不存在阶逆序变换；
(3)若项数列存在阶逆序变换，求的最小值.
10．（2024北京东城高二下期末）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，定义，，以及．
(1)若，，，，求；
(2)若，均为中的元素，且，，求的最大值；
(3)若均为中的元素，其中，，且满足，求的最小值．
11．（2024北京延庆高二下期末）有穷数列{}共m项()．其各项均为整数，任意两项均不相等．，．
(1)若{}：0，1，．求的取值范围；
(2)若，当取最小值时，求的最大值；
(3)若，，求m的所有可能取值．
参考答案
1．A
【分析】由，令，求得，得到，可判定①正确；由当时，可判定②正确；由当时，最小项，当最大，可判定③正确.
【详解】由题意，数列的通项公式为，
令，即，解得或（舍去），即，
所以，即存在正整数，使得，所以①正确；
由，存在正整数，使得，所以②正确；
由数列的通项公式为，
可得，且当时，，
所以，所以当时，数列有最小项，
当时，数列有最大项，所以③正确.
故选：A.
2．D
【分析】数列中，由，，计算，，，...，可得，利用周期性计算得出.
【详解】数列中，由，，得，
同理可得，，...，
所以，则.
故选：D.
3．D
【分析】根据计算可得.
【详解】因为，则，，
所以.
故选：D
4．C
【分析】由数列的递推关系分别求出，再求和即可.
【详解】由已知可得，
当时，；
当时，；
当时，；
所以数列的前4项和等于，
故选：C.
5．①③④
【分析】根据递推关系即可判断①②③，用利用函数单调性即可判断④.
【详解】当时，，当时，，所以或，
若，则，与题意矛盾，所以，
因为，所以或，
若，则，与题意矛盾，
所以，所以①正确；
当时，，所以，
所以，，，
所以是以为周期的周期数列，所以，所以②错误；
当时，，所以，
所以，因为，，所以，
由基本不等式可得，
当且仅当时，取等号，但因为，所以取不到等号，所以，所以③正确；
当时，，所以，
所以，因为，，
所以，由基本不等式可得，
当且仅当时，取等号，但因为，所以取不到等号，所以，
又因为，
令，则，
当，
由的函数性质，由图可知，当，有，
所以从第二项开始为递减数列，
当且增大时，递减，递增，
所以从第三项起为递增数列，所以④正确；
故答案为：①③④
【点睛】本题给出与的混合关系式，用进行转化，本题第四问是难点，四层递进，最后利用函数思想，确定的单调性．
6．（答案不唯一，即可）
【分析】根据数列的函数特性，可得，解不等式可得的取值范围.
【详解】由可得，
又是单调递减数列，可得，
即，
整理得恒成立，
即恒成立，
∴，
又因为，所以，
即取值范围为，
故答案为：（答案不唯一，即可）
7．
【分析】首先赋值求得，再利用数列的周期，讨论，利用周期性求和，即可求解.
【详解】由，
令，得，
又，，所以；
由，得，
所以，所以数列是周期为3的数