第PAGE1页/共NUMPAGES1页
2022-2024北京重点校高二（下）期末数学汇编
三角函数的图像与性质
一、单选题
1．（2024北京第二中学高二下期末）已知函数，x∈R，其中，．若的最小正周期为，且当时，取得最大值，则（????）
A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数 D．在区间上是增函数
2．（2024北京顺义高二下期末）下列函数中，在上为减函数的是（????）
A． B．
C． D．
3．（2024北京昌平高二下期末）下列函数中，既是奇函数又在区间0,+∞上单调递增的是（????
A． B． C． D．
4．（2023北京朝阳高二下期末）已知定义在R上的函数满足：
①；
②；
③当时，
则函数在区间上的零点个数为（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2023北京朝阳高二下期末）已知，，，则（????）
A． B． C． D．
6．（2022北京东城高二下期末）已知函数，若对于任意，满足，且，则一定有（????）
A． B．
C． D．
7．（2022北京第八中学高二下期末）函数在区间的图象大致为（????）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．（2024北京人大附中朝阳学校高二下期末）已知，则按照从大到小排列为.
9．（2023北京朝阳高二下期末）若函数的图象在区间上恰有两个极值点，则满足条件的实数的一个取值为．
10．（2022北京第五十七中学高二下期末）对任意两实数，，定义运算“”：给出下列三个结论：
①存在实数，，使得成立；
②函数的值域为；
③不等式的解集是．
其中正确结论的序号是．
参考答案
1．C
【分析】由函数的最小正周期为求，且求，进而确定解析式，分别求出函数的单调增区间和减区间，结合选项验证即可.
【详解】函数的最小正周期为，根据周期公式可得，
，
当时，取得最大值，
，则，
，
，
由，得函数的单调增区间，
由，得函数的单调减区间，
结合选项知C正确，
故选：C．
2．B
【分析】根据基本初等函数的性质可以逐一判断.
【详解】对于A，在上单调递增，故A错误；
对于B，由指数函数性质可知，在R上为减函数，故B正确；
对于C，在上单调递增，故C错误；
对于D，fx=1x在
故选：B.
3．D
【分析】由题意利用函数的奇偶性和单调性，得出结论．
【详解】由于的定义域，不关于原点对称，不存在奇偶性，故排除A；
由于y＝sinx是奇函数，在上不具有单调性，故排除B；
由于y＝3是常函数，不具有单调性，排除C；
由于是奇函数，且在区间上单调递增，符合题意．
故选：D．
4．B
【分析】根据题意，由条件可得函数的对称性，然后做出其函数图像，将函数的零点个数转化为函数与的交点个数，结合图像即可得到结果.
【详解】由①可得函数的图像关于对称，
由②可得函数的图像关于直线对称，
然后由，做出函数在的图像如图所示，
??
再结合其对称性可得函数在区间的图像如图所示，
??
则函数在区间上的零点个数，即为函数与的交点个数，由图像可知，有4个交点，即4个零点.
故选：B
5．B
【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可.
【详解】因为，，
又因为，所以，即，
所以.
故选：B
6．A
【分析】由题可得函数为奇函数可判断A，利用特值可判断BCD.
【详解】因为，
所以，函数为奇函数，
又，，
所以，即，故A正确；
当时，，，
此时，，
当时，，
故BCD不合题意.
故选：A.
7．A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
8．
【分析】由函数的单调性进行大小判断．
【详解】，
，
，
则，
故答案为：
9．（答案不唯一）．
【分析】先根据题意结合余弦函数的性质可求得，从而可求得结果
【详解】由，得，
因为函数的图象在区间上恰有两个极值点，
所以，得，
所以满足条件的实数的一个取值为，
故答案为：（答案不唯一）．
10．①③
【分析】由得，，
对于①，由得，，由绝对值三角不等式即可判断；（另解：举例说明，取；）
对于②，，再根据辅助角公式和三角函数的性质即可判断；
对于③，由得，，解出即可判断．
【详解】解：由得，，
对于①，由得，，即，
由绝对值三角不等式可得，，
当且仅当时，等号成立，
故①对；
（另解：取，则，则成立；）
对于②，，
故②错；
对于③，由得，，即，
∴，解得，
故③对；
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查新定义问题，解题的关键在于理解新运算的含义，属于中档题．