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新高考数学一轮复习
专题突破利用几何方法求线线角、线面角、二面角
方法技巧总结
技巧一：二面角的求法
法一：定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．
法二：三垂线法
在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点，作于；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；
③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．
图1图2图3
法三：射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；
法四：补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．
技巧二：线与线的夹角
（1）位置关系的分类：
（2）异面直线所成的角
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
②范围：
=3\*GB3③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
技巧三：线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
=3\*GB3③求法：
常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
题型一：平移法求异面直线所成角
【典例1-1】在正三棱柱中，，，分别是中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，取的中点，的中点，的中点,
易知,,
所以异面直线与所成角为或其补角.
由正三棱柱的几何特征可得,，.
,
,
，，
,
在中，由余弦定理可得,
所以直线与所成角的余弦值为.
故选:A.
【变式1-1】在正四棱台中，，点为底面的中心，则异面直线与所成的角为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，连接，则，连接，因为，
所以．易知四边形为平行四边形，则，且，
所以或其补角为异面直线与所成的角，
同理知，又，所以为等边三角形，所以，
故选：C．
题型二：定义法求线面角
【典例2-1】如图，在四面体中，.若从直线，，，中任选两条，则它们互相垂直的概率为.
(1)证明：平面；
(2)若四面体的体积为，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：从直线，，，中任选两条，不同的选法共有种，
因为它们互相垂直的概率为，所以互相垂直的直线有3对.
又，所以与，均不垂直.
若，则恰与，，的其中两条垂直，
不妨设，，则平面，则，不符合题意.
若与不垂直，则，，，
，平面，
则平面，符合题意，故平面.
（2）设，则，
解得，则或.
若，则为正三角形，则，不符合题意.
若，则，符合题意.
如图，过点作，垂足为.
因为平面，平面，所以，
，平面，所以平面.
连接，则为直线与平面所成的角.
，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【变式2-1】如图，在四棱锥，底面，，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）在中，，，，则，，所以
在中，，
故，所以为直角三角形，故，
又因为底面，底面，所以，
又因为，平面，所以平面，
又平面，故平面平面.
（2）如图：作于，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，故为与平面所成的角，
中，，，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
题型三：等体积法法求线面角
【典例3-1】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别是棱PB，PC的中点，是棱PA上一点，且.
(1)求证:平面MCD;
(2)，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.
【解析】（1）取PA的中点S，连接SM，SD，SC，因为为PB的中点，
所以，又，所以，故S，M，C，D四点共面，
由题意知Q，N分别为PS，PC的中点，故，