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新高考数学一轮复习
第5讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值
解题方法总结
1、对称性技巧
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
(5)函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
2、周期性技巧
题型一：单调性的定义及判断
【典例1-1】下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（????）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，“对任意的，使得”，则函数在上为减函数.
对于选项A，，为二次函数，其对称轴为x＝－1，在上递减，符合题意；
对于选项B，，其导数，所以在上递增，不符合题意；
对于选项C，为一次函数，所以在上递增，不符合题意；
对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，在上单调递增，不符合题意.
故选：A.
【方法技巧】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
【变式1-1】由方程确定函数，则在上是（????）
A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数
【答案】B
【解析】当且时，，
当且时，，
当且时，，
当且时，无意义，
如图：
结合图象可知，在上是减函数.
故选：B
题型二：复合函数单调性的判断
【典例2-1】函数的单调递增区间是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增，
而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减，
所以函数的单调递增区间是.
故选：A
【典例2-2】函数的单调递减区间是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数在上为增函数，
由复合函数单调性可得的单调递减区间为.
故选：C.
【方法技巧】
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
【变式2-1】函数的单调递减区间是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
由题意单调递减，且，
则，解得，，
所以的单调递减区间是.
故选：D.
【变式2-2】函数的单调递减区间是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，
解得或，
由图象的对称轴为，
则在上单调递增，
故的单调递减区间为，
故选：C
题型三：分段函数的单调性
【典例3-1】已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是定义在上的增函数，
所以，解得.
故选：B
【方法技巧】
函数，在上为增函数，则：
①在上单调递增；②在上单调递增；③．
函数，在上为减函数，则：
①在上单调递减；②在上单调递减；③．
【变式3-1】已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为对于，都有成立，所以函数是增函数，
则函数和均为增函数，且有，
即，解得.
故选：C.
【变式3-2】已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于函数是定义在R上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，
函数在区间上为减函数，且有，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
题型四：利用函数单调性求参数的范围
【典例4-1】若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数在上单调递减，在上单调递增．
又函数在区间上不单调，所以，
故选：B．
【典例4-2】已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，
显然函数在上单调递增，而函数在上单调递减，
因此，而，则或，解得或，
所以实数a的取值范围为.
故选：D
【方法技巧】
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不