新高考数学一轮复习
第4讲函数的概念及其表示
题型一：函数的概念
【典例1-1】下列对应是从集合A到集合B的函数的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数；
对于B选项，时，，有两个y与之对应，不是函数；
对于C选项，当时，不存在，不是函数；
对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数.
故选：A
【典例1-2】将函数的图象绕着原点沿逆时针方向旋转角得到曲线，已知曲线始终保持为函数图象，则的最大值为（????）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由题设，在原点处的切线斜率，
所以切线方程为，设切线倾斜角为，则，
当绕着原点沿逆时针方向旋转时，始终保持为函数图象，
则，故，显然为锐角，
所以，故的最大值为．
故选：B
【方法技巧】
利用函数概念判断：（1）A，B是非空的实数集；（2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一个元素与之对应，即“多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元素.
【变式1-1】存在定义域为的函数，满足对任意，使得下列等式成立的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，因为有两个不相等的根和，所以当时，；
当，，与函数的定义不符，故A不成立；
对于B，令，则，令，则，与函数定义不符，故B不成立；
对于C，令，则，令，则，与函数定义不符，故C不成立；
对于D，，，唯一确定，符合函数定义.故D成立，
故选：D.
【变式1-2】若函数的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的定义域不可能是（????）
A． B．
C． D．R
【答案】B
【解析】对于函数图象上任一点逆时针旋转可得，
即也在函数图象上，
所以均在函数图象上，都在定义域内，
从而结合函数定义有，当时，有
若定义域为，则不存在满足题意的对应值，故B错误；
故选：B.
题型二：同一函数的判断
【典例2-1】（多选题）下列各项不能表示同一个函数的是（????）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ABD
【解析】对于A:定义域为，定义域为，A不能表示同一个函数,A选项正确；
对于B:与解析式不同，B不能表示同一个函数，B选项正确；
对于C:解析式及定义域都相同，C选项是同一函数，C选项不正确；
对于D:定义域为，定义域为，D不能表示同一个函数，D选项正确；
故选:ABD.
【方法技巧】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．
【变式2-1】以下四组函数中，表示同一个函数的是（????）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】B
【解析】从定义域，对应关系，值域是否相同，逐项判断即可．
对于A：的值域为，的值域为，所以A错误；
对于B：的定义域需满足，即为，
的定义域满足，即为，且，
所以和是同一个函数，B正确；
对于C：的定义域为，的定义域为，所以C错误；
对于D：的定义域满足，即为，
的定义域需满足，即为，所以D错误，
故选：B
【变式2-2】（多选题）已知函数，．（????）
A．若，则
B．若，则
C．对于，若，则
D．对于，若，则
【答案】CD
【解析】对A：若，则，，故A错误；
对B：若，则，，
，故B错误；
对C：若，则，，
又，故，故，即，
即恒成立，故，故C正确；
对D：若，则，
，又，故恒成立，
即，故，
即恒成立，故，即，故D正确.
故选：CD.
题型三：给出函数解析式求解定义域
【典例3-1】已知函数的定义域为．
【答案】
【解析】根据题意可得,解得
故定义域为.
故答案为：
【方法技巧】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式．
【变式3-1】函数的定义域是.
【答案】
【解析】由的解析式可得，
解得；
所以其定义域为.
故答案为：
题型四：抽象函数定义域
【典例4-1】已知函数的定义域是，则函数的定义域为（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的定义域是，所以，
所以，所以函数的定义域为，
所以要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A.
【方法技巧】
1、抽象函数的定义域求法：（1）若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域．（2）已知的定义域，求的定义域，则用换元法求解.
2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再取交集．
【变式4-1】若函数的定义域为，则函数的定义域为．
【答案】
【解析】因为，