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新高考数学一轮复习
第3讲一元二次不等式与其它常见不等式解法
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【典例1-1】不等式的解集为．
【答案】
【解析】由不等式，可得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
【变式1-1】一元二次不等式的解集为.
【答案】
【解析】由可得，
即，
解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【典例2-1】设函数
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于的不等式：．
【解析】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立.
当时，不等式可化为，不满足题意.
当，有，即，解得
所以的取值范围是．
（2）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【变式2-1】已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
【解析】（1）若不等式的解集为R，
则，
解得，
即实数的取值范围,；
（2）不等式，
①当时，即时，不等式的解集为，
②当时，即或时，
由，解得或，
所以不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为；
当或时，不等式的解集为．
题型三：三个二次之间的关系
【典例3-1】已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，方程的两根为2和3，
则，
则为，其解集为.
故选：D.
【典例3-2】已知的解集为，则不等式的解集为（????）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【解析】已知的解集为，
则的两根为和2，
所以，即，
代入不等式，化简整理得，
因为，故，
不等式的解集为或.
故选：C
【方法技巧】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
【变式3-1】（多选题）已知关于的不等式的解集是，则（????）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
【答案】ABD
【解析】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，
A：由以上可知，故A正确；
B：当时，代入方程可得，故B正确；
C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误；
D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确；
故选：ABD
题型四：分式不等式以及高次不等式的解法
【典例4-1】关于x的不等式的解集是.
【答案】或
【解析】因为，
所以，解得或，
所以的解集为或.
故答案为：或.
【典例4-2】已知关于x的不等式的解集是，则实数的取值范围是．
【答案】
【解析】由，解得或，
由条件知与同解，
当时，显然不符合条件；
所以，或，即，或，
解得或，即.
所以的取值范围为.
故答案为：.
【典例4-3】不等式的解集是．
【答案】
【解析】，即，即，
则，根据穿根法解得，
故答案为：.
【变式4-1】不等式的解集是．
【答案】
【解析】原不等式可以化为，
因为，所以.
所以不等式的解集为.
故答案为：
题型五：绝对值不等式的解法
【典例5-1】不等式的解集为.
【答案】
【解析】当时，，
所以.
当时，，
或.
综上：解集为
故答案为：
【典例5-2】不等式的解集为．
【答案】；
【解析】或，
即或，所以不等式的解集为或，
故答案为：.
【方法技巧】
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【变式5-1】不等式的解集为.
【答案】
【解析】，当时，，解得，故解集为，
当时，，解集为，
当时，，解得，故解集为，
综上：不等式的解集为.
故答案为：
【变式5-2】不等式的解集是．
【答案】或
【解析】因为，所以或，
即或，
由解得或，
由可得，所以，
故不等式的解集为或.
故答案为：或.
题型六：二次函数根的分布问题
【典例6-1】已知函数，关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是.
【答案】
【解析】由题意得，
当时，，递增；当时，，递减，
且；可知函数的图象如图所示，
令，则方程有三个不等的实根，
即为有两个不等的实根，
令，则有两个不等的实根，
则，所以不妨令，
则，解得，
故答案