PAGE2
新高考数学一轮复习
第2讲等式与不等式性质、基本不等式
题型一：不等式性质的应用
【典例1-1】设，且，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，取，则，故A错误，
对于B，，则，故B错误，
对于C，由于，故在单调递减，故，因此，
由于，所以，故，C正确，
对于D,,则，故D错误，
故选：C
【变式1-1】已知，则下列命题为假命题的是（????）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，因为，所以，故A结论正确；
对于B，当时，因为幂函数在上单调递增，所以，故B结论正确；
对于C，因为，所以，
而函数为减函数，所以，故C结论正确；
对于D，，
因为，所以，
所以，所以，故D结论错误.
故选：D.
【变式1-2】设，其中，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，故，故，
由对勾函数性质可得，
，且，
综上所述，有.
故选：C.
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
【典例2-1】已知且，，，则与的大小关系为．
【答案】
【解析】．
当时，，所以，则；
当时，，所以，则．
综上可知，当且时，，即．
【变式2-1】已知：，则大小关系是．
【答案】
【解析】由，得，因此，
显然，则，
所以大小关系是.
故答案为：
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【典例3-1】（多选题）已知，，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】依题意，，
所以，所以，所以A选项错误，B选项正确.
所以，所以，所以C选项正确，D选项错误.
故选：BC
【典例3-2】已知，，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，
所以，解得，即可得，
因为，，
所以，
故选：A．
【典例3-3】已知，，则ab的最大值为（???）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【解析】，
由不等式的性质，，所以
所以，所以，
当且仅当时，且已知，解得，
即的最大值为.
故选：A.
【变式3-1】（多选题）已知实数x，y满足则（????）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】ABD
【解析】利用不等式的性质直接求解.因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
因为，所以，则，故D正确.
故选：ABD.
题型四：糖水不等式
【典例4-1】（多选题）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶水不等式”判断下列命题一定正确的是（????）
A．若，，则
B．
C．若，，为三条边长，则
D．若，，为三条边长，则
【答案】BCD
【解析】A.由糖水不等式得：，时，，故A错误.
B.，故B正确.
C.，故C正确.
D.，，故D正确.
故选：BCD
【变式4-1】（1）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则.（填“，，=，≥，≤”之一）.
（2），，则MN（填“，，=，≥，≤”之一）.
【答案】??
【解析】（1）∵，
又∵，，
∴，即；
（2）因为，，
故.
故答案为：；.
题型五：基本不等式及其应用
【典例5-1】下列不等式证明过程正确的是（????）
A．若，则
B．若x＞0，y＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x＜0，则
【答案】D
【解析】∵可能为负数，如时，，∴A错误；
∵可能为负数，如时，，∴B错误；
∵，如时，，∴C错误；
∵，，，∴，当且仅当，即等号成立，∴D正确．
故选：D．
【变式5-1】下列结论正确的是（????）
A．当时， B．当时，的最小值是
C．当时， D．当时，的最小值为1
【答案】C
【解析】对于A，当时，，故A错误，
对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误，
对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确，
对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误，
故选：C
题型六：直接法求最值
【典例6-1】若实数满足，则的最小值为．
【答案】
【解析】,当且仅当，
即时取到等号.
故答案：.
【变式6-1】下列函数中最小值为4的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其