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新高考数学一轮复习
第1讲集合与常用逻辑用语
知识点1：元素与集合
1、集合的含义与表示
某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．
2、集合元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．
（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．
（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．
3、元素与集合的关系
元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种．
4、集合的常用表示法
集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．
知识点诠释：
（1）列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来.
（2）描述法
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
5、常用数集的表示
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
知识点2：集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集：对于两个集合与，若，且存在，但，则集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.
（3）相等：对于两个集合与，如果，同时，那么集合与相等，记作．
（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
（5）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
知识点3：集合的基本运算
（1）交集：由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即．
（2）并集：由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
知识点4：集合的运算性质
（1），，，，．
（2），，，，．
（3），，．
（4）
（5）,．
知识点5：充分条件、必要条件、充要条件
1、定义
如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件．
2、从逻辑推理关系上看
（1）若且，则是的充分不必要条件；
（2）若且，则是的必要不充分条件；
（3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）；
（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件．
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）．
知识点6：全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．
（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．
知识点7：含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题的否定为，．
（2）存在量词命题的否定为．
题型一：集合的表示：列举法、描述法
【典例1-1】已知集合，，则集合B中所有元素之和为（????）
A．0 B．1 C．－1 D．
【答案】C
【解析】根据条件分别令，解得，
又，所以，，
所以集合B中所有元素之和是，
故选：C．
【方法技巧】
1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.
描述法，注意代表元素.
【变式1-1】已知集合，则集合的元素个数为（????）
A．3 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【解析】当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故，共三个元素.
故选：A.
题型二：集合元素的三大特征
【典例2-1】设集合，，已知且，则的取值集合为.
【答案】
【解析】因为，即，
所以或，
若，则或；
若，即，则或.
由与互异，得，
故或，
又，即，所以，解得且，
综上所述，的取值集合为.
故答案为：
【典例2-2】由构成的集合中，元素个数最多是.
【答案】2
【解析】当时，，此时