PAGE2
新高考数学一轮复习
第讲直线、平面垂直的判定与性质
题型一：垂直性质的简单判定
【典例1-1】设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（????）
A．若，，则
B．若与所成的角相等，则
C．若，，则
D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A错误；
对于B，与所成的角相等，则可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误，
对于C，，，则可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C错误；
对于D，，则，D正确.
故选：D．
【典例1-2】（多选题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】设正方体的棱长为，
对于A，如图（1）所示，连接，则，
故（或其补角）为异面直线所成的角，
在直角三角形，OC=2，，故，
故不成立，故A错误.
对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，
由正方体可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正确.
对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，
故，故C正确.
对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，
则，
因为，故，故，
所以或其补角为异面直线所成的角，
因为正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D错误.
故选：BC.
【方法技巧】
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
【变式1-1】已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（????）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，若，，则或，则m，n相交、平行、异面都有可能，A错误；
对于B，若，则与相交或平行，B错误；
对于C，若，则，又，则或，C错误；
对于D，由，得或，若，则存在过的平面与相交，
令交线为，则，而，于是，；若，而，则，
因此，D正确.
故选：D
【变式1-2】如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（????）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【答案】A
【解析】
连，在正方体中，
M是的中点，所以为中点，
又N是的中点，所以，
平面平面，
所以平面.
因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B,D不正确；
在正方体中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直线是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
题型二：证明线线垂直
【典例2-1】如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，．
求证：；
【解析】证明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴PA⊥BD．
又底面ABCD为正方形，∴．
又，且PA，平面PAC，∴平面PAC，
∵平面PAC，∴．
【典例2-2】如图，多面体中，已知面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，平面平面．
求证：；
【解析】由是正方形，得，而平面平面，平面平面，
平面，则平面，又平面，于是，又，
所以.
【方法技巧】
【变式2-1】如图，已知多面体的底面ABCD是菱形，侧棱底面，且．
??
证明：；
【解析】因为，所以，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为四边形是菱形，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以；
【变式2-2】如图所示，在三棱锥中，平面平面，，为锐角.
证明：；
【解析】在平面中，过点作的垂线，垂足为.
平面平面，且平面平面，平面，
故平面.又平面，所以
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，故.
题型三：证明线面垂直
【典例3-1】如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，且，与平面所成的角为与交于．
证明：平面；
【解析】
连结，
底面是边长为2的菱形，．
，
．
点为线段中点，．
为菱形，平面，平面
又平面，平面平面，
在平面上的射影为，
为直线与平面所成的角，即．
在中，，
．
则．
又平面平面，
平面．
【典例3-2】在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，.
??
证明：平面；
【解析】证明：由题意知，，
又，所以平面，
又平面，所以，
又，，所以平面
【方法技巧】
方法一：线面垂直的判定．
线线垂直线面垂直，符号表示为：，那么．
方法二：面面垂直的性质．
面面垂直线面垂直，符号表示为：，那么．
【变式3-1】如图，在三棱锥中，为上的动点.
若，求证：平面；
【解析】
在中，，则，
又，所以
由勾股定理可得为直角三角形，,
所以，所以
在中，因为，由余弦定理可得：
则，所以，
又，在中由余弦定理可得：
，
则，所以，
又平面平面，
所以平面