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新高考数学一轮复习
第讲三角恒等变换
解题方法总结
1、两角和与差正切公式变形
；
．
2、降幂公式与升幂公式
；
．
3、其他常用变式
．
4、拆分角问题：①；；②；③；
④；⑤．
5、和化积公式
6、积化和公式
题型一：两角和与差的三角函数公式
【典例1-1】已知，则（???）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，即，
即，所以.
故选：B.
【典例1-2】已知，则（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选：A.
【典例1-3】已知为锐角，，则（????）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，而为锐角，
解得：．
故选：D．
【方法技巧】
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
【变式1-1】（多选题）下列选项中，值为的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】选项A：，故选项A不符合题意；
选项B：，故选项B符合题意；
选项C：，故选项C符合题意；
选项D：，故选项C符合题意.
故选：BCD.
【变式1-2】化简．
【答案】
【解析】原式
，
因为，
所以．
所以原式．
故答案为：
【变式1-3】（多选题）已知，且是方程的两根，下列选项中正确的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】是方程的两根，又，
解得，
，A选项正确；
，B选项错误；
，C选项错误；
，，则，有，
，
，D选项正确.
故选：AD.
题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
【典例2-1】计算：＝.
【答案】
【解析】由题意．
故答案为：．
【典例2-2】已知，则.
【答案】
【解析】由，
可得，
两式平方相加，可得：，
即，
又由，可得，所以，所以
因为，且，所以.
故答案为：.
【方法技巧】
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
【变式2-1】已知，满足，则．
【答案】
【解析】因为，
即，整理得，即，
所以．
故答案为：．
【变式2-2】已知，则（????）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【变式2-3】设，，则．
【答案】1
【解析】由，
，
，得，
所以，
故．
故答案为：1
题型三：利用角的拆分求值
【典例3-1】已知，则.
【答案】/
【解析】因为，则.
故答案为：.
【典例3-2】已知，均为锐角，，，则的值为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，均为锐角，即，所以，，
又，，
所以，，
所以
，
故选：B.
【方法技巧】
常用的拆角、配角技巧：；；；；；等．
【变式3-1】已知，则（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
所以，
所以.
故选：B
【变式3-2】已知，则（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以，
又，
所以，
故选：C.
题型四：给角求值
【典例4-1】式子化简的结果为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原式
.
故选：B.
【典例4-2】计算：（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为
，所以原式
故选：C
【方法技巧】
（1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
（2）给角求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
【变式4-1】求值：（????）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】原式
，
故选：D.
【变式4-2】若，则实数的值为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得
.
故选：A.
题型五：给值求值
【典例5-1】已知，则．
【答案】
【解析】由题意，，且，故.
故
.
故，.
故答案为：
【典例5-2】已知，则.
【答案】/
【解析】由，所以，
所以，所以，即，
因为，，所以，
即，联立得.
故答案为：.
【典例5-3】在中，若，则_________.
【答案】
【解析】因为，
所以，，
由题意可得，
若，则，不妨设为锐角，则，
则，不合乎题意，
所以，，故，因此，.
故答案为：.