PAGE2
新高考数学一轮复习
第讲三角函数的图像与性质
题型一：五点作图法
【典例1-1】已知函数，.
(1)在用“五点法”作函数在区间上的图象时，列表如下：
0
将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象；
??
(2)求函数在区间上的最值以及对应的的值.
【解析】（1）在用“五点法”作函数在区间上的图象时，列表如下：
0
0
0
2
0
描点，连线，可得图象如下：
（2）因为，可得，
故当时，即时，取最大值，
当时，即时，取最小值.
【方法技巧】
（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
【变式1-1】设函数.
(1)列表并画出，的图象；
??
(2)求函数在区间上的值域.
【解析】（1）
列表：
0
x
1
4
7
10
y
0
2
0
0
作图：
（2）由已知
，
由已知，
∴，
∴，
∴函数在区间上的值域是.
题型二：函数的奇偶性
【典例2-1】若将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且为奇函数，则的最小值是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
则，
因为为奇函数，所以，
所以，
即，
所以，，
所以，
所以最小值为，
故选：D
【方法技巧】
由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
（1）若为奇函数，则；
（2）若为偶函数，则；
（3）若为奇函数，则；
（4）若为偶函数，则；
若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数．
【变式2-1】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的图象向右平移个单位长度得，
又的图象关于轴对称，所以，
解得，当时，取得最小值．
故选：A．
【变式2-2】已知函数满足：，函数，若，则（????）
A． B．0 C．1 D．4
【答案】B
【解析】依题意，
所以
所以.
故选：B
题型三：函数的周期性
【典例3-1】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对满足的，总有的最小值等于，则（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的周期为，
将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
可得，
由可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且，
不妨设，则，即在时取得最小值，
由于，此时，不合题意；，此时，
当时，满足题意.
故选：C.
【典例3-2】函数的最小正周期为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
所以的最小正周期．
故选：C．
【方法技巧】
关于三角函数周期的几个重要结论：
（1）函数的周期分别为，．
（2）函数，的周期均为
（3）函数的周期均．
【变式3-1】已知函数，则（）
A．2025 B．
C． D．
【答案】B
【解析】由
得，
所以，
所以
故选：B.
【变式3-2】已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，设的最小正周期为，则，所以的最小值为，故选C.
题型四：函数的单调性
【典例4-1】知函数，，则函数的单调递减区间为.
【答案】
【解析】由题意知，，
由，得，
令，得，令，则，
即函数的单调递减区间为.
故答案为：
【典例4-2】函数在上的单调递减区间为.
【答案】
【解析】由题意知，.
即，，因为，所以，
所以在中，，
所以在上的单调递减区间为.
故答案为：
【方法技巧】
三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，
如由解出的范围，所得区间即为增区间；
由解出的范围，所得区间即为减区间．
若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．
对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．
【变式4-1】将函数的图象上每一点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（????）
A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C．在区间上单测递减 D．在区间上单调递增
【答案】B
【解析】函数的图象上每一点的横坐标变为原来的得，
再向右平移个单位长度得，
即，
由，得增区间为，．
当时，一个增区间为，而，所以B正确.
故选：B
【变式4-2】已知函数的最小正周期为，直线是图象的一条对称轴，则的单调递减区间为（????）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由于的图象是将的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，
且仅有单调递增区间，
故和的最小正周期相同，均为，
则，