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新高考数学一轮复习
第讲平面向量
方法与技巧
技巧一．三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
技巧二．常见结论
内心：三角形的内心在向量所在的直线上．
为的内心．
（2）外心：为的外心．
（3）垂心：为的垂心．
（4）重心：为的重心．
题型一：平面向量的基本概念
【典例1-1】下列命题不正确的是（???）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，，则
【答案】A
【解析】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C选项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时才成立，故C正确；
D选项，由向量相等的定义知D正确.
故选：A
【方法技巧】
准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．
【变式1-1】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若，则与共线.其中错误命题的个数为（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①错误.两向量共线要看其方向而不是起点与终点.
②正确.因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.
③错误.因为，所以或.
④错误.当λ＝μ＝0时，，此时，与可以是任意向量.
所以错误命题有3个.
故选：C.
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题
【典例2-1】如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（????）．
A．1 B．-1 C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，
因为，所以，，，
故选：D．
【典例2-2】古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知与交于点，若，则（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，
由题意得，
则，.
因为，故，
因为，所以（负值舍去），
所以，
故.又，则，
因为，所以，
解得，所以，
故选：A.
【方法技巧】
（1）两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题．
（2）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
【变式2-1】如图，在平行四边形中，，点E满足，则（????）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，点满足，可得，
则.
故选：A.
【变式2-2】已知矩形的对角线交于点O，E为AO的中点，若（，为实数），则（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图
在矩形中，
，
在中，
，
，
，
．
故选：A．
题型三：共线定理及其应用
【典例3-1】已知平面向量，不共线，，，，则（????）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
【答案】D
【解析】因为平面向量，不共线，所以，可以作为平面内的一组基底，
又，，，
所以，，
对于A：因为，，显然不存在实数使得，
所以，，三点不共线，故A错误；
对于B：因为，，不存在实数使得，
所以，，三点不共线，故B错误；
对于C：因为，，不存在实数使得，
所以，，三点不共线，故C错误；
对于D：因为，，所以，
所以，故，，三点共线，故D正确.
故选：D
【典例3-2】如图，中，点M是BC的中点，点N满足，AM与CN交于点D，，则（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，点M是BC的中点，，则，
又，于是得，因点C，D，N共线，则有，解得，
所以.
故选：C
【方法技巧】
要证明A，B，C三点共线，只需证明与共线，即证=（）．若已知A，B，C三点共线，则必有与共线，从而存在实数，使得=．
【变式3-1】已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则.
【答案】2
【解析】因为与共线，所以，
即，又不共线，所以，所以.
故答案为：